Конспект и презентация к внеклассному мероприятию по математике "Пчелы и геометрия"

Цели:

обобщение и систематизация материала по теме «Правильные многоугольники»;
отработка умений и навыков применения формул  нахождения угла, суммы углов, площади правильного многоугольника;
развитие навыков работы с дополнительной литературой, с историческим материалом;
развитие познавательной активности учащихся; учить их видеть связь между математикой и окружающей жизнью;
воспитание эстетических качеств и умения общаться; формирование интереса к математике.

В природе все продумано

Оборудование: доска, компьютер, мультимедийный проектор, экран, набор моделей правильных многоугольников.  и совершенно.

 

Ход мероприятия.

Организационный момент.

Сегодня наше мероприятие мы посвящаем пчелам и геометрии. Вы спросите, как связаны пчелы и геометрия? Мы попытаемся ответить на этот вопрос. Познакомимся поближе с этими представителями природы. Слово биологам. (Слайд 3)

 Сообщение о пчелах.

Существует около 20 тысяч видов пчёл.(Слайд 4). Их можно обнаружить на всех  континентах, кроме Антарктиды, примерно 4000 обнаружено в Северной Америке.  Многие виды пчёл малоизученны. Размеры сильно варьируют: длина некоторых шмелей и пчелы-плотника превышает 4,5 см (Слайд 5), длина карликовой пчелы до 0,21 см. (Слайд 6). Пчелы близки к осам и муравьям, вместе с которыми входят в отряд перепончатокрылых. Окраска чаще всего черная с желтоватыми отметинами. Все пчёлы имеют две пары крыльев, задняя пара по размеру меньше передней; только у нескольких видов у одного пола или касты крылья очень короткие, что делает полёт пчелы трудным или невозможным делом.

Пчёлы приспособились питаться нектаром и пыльцой, используя нектар главным образом в качестве источника энергии, а пыльцу для получения белков и других питательных веществ.

Тело взрослой пчелы делится на 3 отдела: голову, грудь и брюшко. (Слайд 7).
На голове находится пара "усиков", называемых антеннами, два крупных сложных глаза (по одному с каждой стороны) и обычно расположенные на "макушке" между ними три простых глазка. Сложные глаза типичны для насекомых. Ротовой аппарат пчелы специализирован для высасывания нектара и образует длинную трубку (хоботок). Нектар поступает в специальный мешковидный резервуар  в брюшке, где превращается в мед.

К груди прикреплены две пары крыльев и три пары ног. Крылья сцеплены между собой мелкими крючками. (Слайд 8).

В брюшке располагаются основные части пищеварительной системы и половые органы. Нижняя его сторона бывает покрыта длинными волосками, которые удерживают пыльцу на пчелах. Здесь же у многих видов находится два ряда восковых желез. Выделяемый ими воск используется для строительства ячеек гнезда. У жалящих пчел на конце брюшка расположен жалящий аппарат.

 Пчёлы могут жить как независимо друг от друга (то есть вести уединённый образ жизни), так и существовать в разнообразных общественных образованиях. (Слайд 9).  Одиночные пчёлы — важные опылители растений. Только некоторые виды одиночных пчёл разводятся для целей опыления растений, остальные встречаются лишь в диком виде.

 Среди пчёл встречаются клептопаразиты, то есть ворующие либо отбирающие пищу других животных для себя. В связи со сходством поведения таких пчёл с кукушками их прозвали «кукушиные пчёлы» или пчелы – кукушки. (Слайд 10). У пчёл этого семейства не хватает приспособлений для сбора пыльцы, они также не устраивают свои собственные гнёзда. Вместо этого они подкладывают яйца в гнёзда других пчёл, используя уже готовые ячейки с нектаром и пыльцой. Когда у «кукушкиной пчелы» появляется личинка, она убивает и съедает чужих личинок, а также поедает весь приготовленный запас еды.

Высоко-общественные пчёлы живут в колониях, это высокоорганизованные насекомые. В частности, общественные пчёлы совместно осуществляют поиск пищи, воды, жилья при необходимости, совместно защищаются от врагов. В улье пчёлы совместно строят соты, ухаживают за потомством.

Сегодня мы поговорим о медоносных пчелах. (Слайд 11).Фрагмент фильма.

Задумывались ли вы над тем, почему пчелы строят соты именно так, почему они предпочитают сеть правильных шестиугольников, уложенных в виде паркета? (Слайд 12).

Представим себе другие формы сот, например, в виде цилиндров или пятиугольников. (Слайд 13). Между сотами возникают промежутки, а значит, помещается меньше меда.

Выясним, какими правильными многоугольниками можно заполнить плоскость так, чтобы не было пропусков, т.е. уложить их в виде паркета. Чтобы ответить на этот вопрос, какие многоугольники называются правильными? Помогут нам математики. (Слайд 14).

Сообщение математиков.

Геометрические фигуры могут “встретиться” в вершине паркета только тогда, когда сумма их углов составляет 360 градусов, иначе они не сомкнуться вокруг вершины или “налезут” друг на друга.

Главное условие, необходимое для построения паркетов:

Сумма углов многоугольников в узле паркета должна равняться 360º

Любой выпуклый n- угольник можно разбить на треугольники, тогда  сумма внутренних углов выпуклого n- угольника равна (n-2)∙1800, где n- число сторон многоугольника. Так как многоугольник правильный, то его угол равен  . Сумма углов правильных n- угольников, сходящихся в одной вершине паркета, равна 3600. Тогда

 

Отсюда 

Если n=3, то k =6, т.е. в одной вершине паркета могут сходиться 6 правильных треугольников;

Если n=4, то k =4, т.е. в одной вершине паркета могут сходиться 4 квадрата;

Если n=5, то k =3,3, т.е. не существует паркета из правильных пятиугольников;

Если n=6, то k =3, т.е. в одной вершине паркета могут сходиться 3 правильных шестиугольников;

Если n=7, то k =2,8, т.е. не существует паркета из правильных семиугольников. И так далее. Отсюда n= 3,4,6.

(Слайд 15). Считается, что Пифагор первым сформулировал положение, что плоскость вокруг точки может быть полностью заполнена лишь тремя видами правильных многоугольников, а именно: равносторонним треугольником, квадратом и правильным шестиугольником.

Итак, мы выяснили, что заполнить плоскость без пропусков можно, используя или правильные треугольники, или правильные квадраты. (Слайд 16) или правильные шестиугольники. (Слайд 17). Возникает вопрос: «Почему пчелы строят соты именно шестиугольниками, а не правильными треугольниками или квадратами, ведь их, казалось бы, гораздо проще сконструировать?»

Решим задачу: Даны три равновеликие друг другу фигуры - правильный треугольник,  квадрат и правильный шестиугольник. Какая из данных фигур имеет наименьший периметр? (Слайд 18-20).

Самостоятельная дифференцированная работа в группах. Для этого класс необходимо разбить на группы.

1 группа выражают периметр квадрата.

2 группа – периметр треугольника.

3 группа – периметр шестиугольника.

Какие фигуры называются равновеликими? (имеющие одинаковую площадь).

Пусть S – площадь каждой из названных фигур, - сторона соответствующего  n- угольника. Тогда  – площадь правильного треугольника,  - площадь квадрата,  - площадь правильного шестиугольника.

Найдем периметр каждой фигуры, зная ее площадь, для этого выясним  сторону:

 

Для сравнения периметров фигур найдем их отношение

 

Мы видим, что из правильных многоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр имеет правильный шестиугольник. Значит, пчелы выбрали для построения сот правильный многоугольник с наименьшим периметром. Зачем им это надо?

Стало быть, мудрые пчелы, экономят воск и время для построения сот.

«Математический гений» пчел приводил людей в изумление уже в глубокой древности.

 Сообщение историков.  (Слайд 21).

 Древнегреческий философ Аристотель (IV век до н.э.) очень подробно описал жизнедеятельность пчел. Именно он положил начало пчеловодству на научной основе. Аристотель выделил среди пчел три вида особей, описал восковые постройки пчел, стадии развития пчел и многое другое.

Плиний Старший (Гай Плиний Секунд) – видный римский ученый и писатель (1 век н.э.), автор работы «Естественная история» в 37 книгах – свода знаний того времени по астрономии, физике, географии, зоологии, ботанике, медицине и др. наукам. Ему принадлежит выражение: «Пчёлы – главные среди насекомых и по праву достойны уважения».

Папп Александрийский древнегреческий математик 2 половины III века н.э. автор труда «Математическое собрание» в 8 книгах. До нас дошли последние 6 книг. Папп первый начал рассматривать ячейку как геометрическое строение и обратил внимание на ее хорошие геометрические свойства с точки зрения минимальности периметра и заполнения всей площади без пропусков.

Надо сказать, что на этом математические секреты пчел не заканчиваются. Фрагмент фильма.

Как  не согласиться с мнением Пчелы из сказки «Тысяча и одна ночь»: «Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот». (Слайд 22).

И так мы выяснили, что плоскость можно покрыть правильными треугольниками, квадратами и правильными шестиугольниками. А можно ли комбинациями двух видов правильных многоугольников покрыть плоскость без просвета? (Слайд 23).

Например, правильными четырехугольниками и восьмиугольниками. Решим эту задачу.

Решение.

α8=1350, α4=900

Т.к. сумма углов должна быть 3600, то можно положить два восьмиугольника и квадрат, стороны которых равны. (Слайд 24).

Выясним, какими комбинациями из  разных правильных многоугольников можно составить паркет, если стороны у них равны. Для этого найдем количество многоугольников, сходящихся в одной точке. (Слайд 25).

Величина каждого угол < 1800. Почему?

В то же время  ≥ 600. (т. к. внутренний угол правильного треугольника 60º).

Т.е.

Е.к. сумма углов составляет 360 градусов, то

360º:2=180º, значит, окрестность точки нельзя замостить двумя правильными многоугольниками.

360º:3=120º < 180º, наименьшее количество правильных многоугольников, которые можно уложить, чтобы покрыть окрестность точки, равно 3.

360º:4=90º < 180º

360º:5=72º < 180º

360º:6=60º < 180º, наибольшее количество правильных многоугольников, которые можно уложить, чтобы окрестность точки, равно 6.

Окрестность точки можно замостить 3, 4, 5, 6 правильными многоугольниками.

Таким образом, решение задачи распадается на анализ тех вариантов, когда в вершине паркета сходятся 3, 4, 5 и 6 правильных многоугольников.

Заполнение таблицы. (Самостоятельная работа в группах с последующей проверкой. (Слайд 26)

 Задание: собрать паркет из правильных многоугольников, используя набор многоугольников. (Слайд 26-32).

 

Вывод: Мы получили, что существует только 11 различных правильных паркетов.

И так, благодаря пчелам, мы с вами ближе познакомились с правильными многоугольниками.

Проверим, кто из вас был самым внимательным. Ответьте на вопросы. (Слайд 33)

1. К какому классу относятся пчелы? (Перепончатокрылых)

2. Самая маленькая пчела. (Карликовая, 0,21 см)

3. Какой ученый первым сформулировал положение о заполнение плоскости вокруг точки? (Пифагор)

4. Площадь правильного треугольника. (

5. Кому принадлежат слова: «Пчёлы – главные среди насекомых и по праву достойны уважения»? (Плиний Старший)

6. Наименьшее количество правильных многоугольников, которые можно уложить, чтобы покрыть окрестность точки. (3)

7. Чему равен угол правильного двенадцатиугольника? (1500)

8. Сколько существует различных правильных паркетов? (11)

В конце можно посмотреть мультфильм «Первый урок».


Просмотров: 237 | Загрузок: 55
Автор: Семьянинова Е.Н.
Теги: многоугольник
Предмет: Математика


Похожие образовательные материалы:
Всего комментариев: 0
avatar