Конспект и презентация к уроку математики "Золотое сечение"

Цели и задачи:

Расширение представлений у учащихся о математике и её роли в социуме;
Создание условий для осознания важности математических знаний;

Создание творческой атмосферы, побуждающей учащихся задуматься о взаимосвязи математики и жизни.
Формирование уверенности в своих знаниях;

Применение полученных знаний в жизненных ситуациях.

План урока:

изучить геометрическое определение "золотого сечения";
изучить алгебраические свойства золотой пропорции;
узнать о применении золотого сечения в математике;
изучить применение золотого сечения в жизни человека

На доске: «Человек образованный тот, кто знает, где найти то, чего он не знает»   Георг Зиммель

Текстовое содержание

 

С давних пор человек стремится окружать себя красивыми вещами. Уже предметы обихода жителей древности демонстрируют стремление человека к красоте. На определенном этапе своего развития человек начал задаваться вопросом: почему тот или иной предмет является красивым и что является основой прекрасного? Уже в Древней Греции родилось представление о том, что основой прекрасного является гармония.

В Большой Советской Энциклопедии дается следующее определение понятия "гармония": "Гармония - соразмерность частей и целого, слияние различных компонентов объекта в единое органическое целое. В гармонии получают внешнее выявление внутренняя упорядоченность и мера бытия".

Из многих пропорций, которыми издавна пользовался человек при создании гармонических произведений, существует одна, единственная и неповторимая, обладающая уникальными свойствами. Эту пропорцию называли по разному - "золотой", "божественной", "золотым сечением", "золотым числом", "золотой серединой".

И тема нашего урока -  «Золотое сечение»

Цель данного урока: расширить представление о золотом сечении и его применении для дальнейшего использования полученных знаний на уроках математики и в жизни.

Задачи:

изучить геометрическое определение "золотого сечения";
изучить алгебраические свойства золотой пропорции;
 узнать о применении золотого сечения в математике;
 определить применение золотого сечения в жизни человека

Самым известным математическим сочинением античной науки являются "Начала Евклида". Это научное произведение написано Евклидом в 3 веке до новой эры и содержит основы античной математики: элементарную геометрию, теорию чисел, алгебру, теорию пропорций и отношений, методы определения площадей и объемов

Именно из "Начал Евклида" к нам пришла следующая геометрическая задача, называемая задачей "о делении отрезка в крайнем и среднем отношении". Суть задачи состоит в следующем. Разделим отрезок АВ точкой С в таком отношении, чтобы большая часть отрезка СВ так относилась к меньшей части АС, как отрезок АВ к своей большей части СВ то есть:

 

Деление отрезка в крайнем и среднем отношении ("золотое сечение").

Обозначим это отношение через x. Тогда, учитывая, что АВ = АС + СВ, отношение (1) можно записать в следующем виде:

откуда вытекает следующее алгебраическое уравнение для вычисления искомого отношения x:         

(2)

Из "физического смысла" вытекает, что решение уравнения  должно быть положительным числом, следовательно - решением задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении является положительный корень этого уравнения, который мы обозначим через иррациональное алгебраическое число, то есть

Леонардо да Винчи назвал это число "золотым сечением" или "золотой пропорцией".

Золотое сечение широко встречается в геометрии. Из "Начал Евклида" известен следующий способ геометрического построения "золотого сечения" с использованием линейки и циркуля. Построим прямоугольный треугольник ABC со сторонами AB = 1 и AC = ½. Тогда в соответствии с "Теоремой Пифагора" cторона  Проведя дугу AD с центром в точке C до пересечения с отрезком CB в точке D, мы получим отрезок

Проведя дугу DЕ с центром в точке B до ее пересечения с отрезком AB в точке E, мы получим деление отрезка AB в точке E "золотым сечением", поскольку

или

Таким образом, хорошо известный в древнем мире простой прямоугольный треугольник с отношением катетов 1:2 мог послужить основой для открытия "теоремы квадратов", золотой пропорции и, наконец, "несоизмеримых отрезков" - трех великих математических открытий, приписываемых Пифагору.

Рассмотрим алгебраическое уравнение золотой пропорции:

(1)

Оно является алгебраическим уравнением 2-й степени и решить его, то есть найти его корень может каждый школьник. Но возникает вопрос: существуют ли алгебраические уравнения более высоких степеней, корнем которых является золотая пропорция? Для ответа на этот вопрос проведем следующие рассуждения. Давайте умножим обе части этого уравнения на x; в результате получим:

(2)

Из первого уравнения представим величину x следующим образом: Подставим теперь это значение для переменной x в полученное уравнение (2); тогда получим следующее уравнение 3-го порядка:

(3)

С другой стороны, если в уравнение подставить выражение для x2, то получим еще одно уравнение 3-го порядка:

(4)

Применение золотого сечения в математике: Слово "пентагон" (от греческого - пятиугольник) нам хорошо известно из названия здания военного ведомства США, которое в плане имеет форму правильного пятиугольника Однако фигура имеет и другое название "пентаграмма" (от греческих слов - пять и - линия), что означает правильный пятиугольник, на сторонах которого построены равнобедренные треугольники одинаковой высоты

Диагонали "пентагона" образуют "пятиугольную звезду". Доказано, что точки пересечения диагоналей всегда являются точками "золотого сечения". При этом они образуют новый "пентагон". В новом "пентагоне" можно провести диагонали, пересечение которых образуют еще один "пентагон" и это процесс может быть продолжен до бесконечности. Таким образом, "пентагон" как бы состоит из бесконечного числа "пентагонов", которые образуются точками пересечения диагоналей. Эта бесконечная повторяемость одной и той же геометрической фигуры создает чувство ритма и гармонии, которое неосознанно фиксируется нашим разумом.

Пентаграмма включает в себя ряд замечательных фигур, которые широко используются в произведениях искусства. В античном искусстве широко известен так называемый "закон золотой чаши", который использовали античные скульпторы и золотых дел мастера.

"Пятиугольная звезда", входящая в "пентаграмму", состоит из пяти равносторонних "золотых" треугольников, каждый из которых напоминает букву "А" ("пять пересекающихся А")

Золотой прямоугольник Золотое сечение очень широко используется в геометрии. Мы начнем наше путешествие по геометрическим свойствам золотого сечения с "золотого" прямоугольника. "Золотым" прямоугольником называется такой прямоугольник, в котором отношение большей стороны к меньшей равно золотой пропорции, то есть

Найдем теперь на отрезках AB и DC точки E и F, которые делят соответствующие стороны AB и DC в "золотом сечении". Ясно, что AE = DF = 1, тогда

Соединим теперь точки E и F отрезком EF и назовем этот отрезок "золотой линией". При этом с помощью "золотой линии" EF "золотой" прямоугольник ABCD оказывается разделенным на два прямоугольника AEFD и EBCF. Поскольку все стороны прямоугольника AEFD равны между собой, то этот прямоугольник есть ни что иное, как квадрат.

Рассмотрим теперь прямоугольник EBCF. Поскольку его большая сторона BC = 1, а меньшая то отсюда следует, что их отношение BC:EB =  и, следовательно, прямоугольник EBCF является "золотым"! Таким образом "золотая" линия EF расчленяет исходный "золотой" прямоугольник ABCD на квадрат AEFD и новый "золотой" прямоугольник EBCF.

 

Применение золотого сечения в жизни человека

Возможно, что первым объектом, в котором человек стремился открыть законы бытия, законы гармонии, был небосклон. Именно наблюдение над неизменными и вечными звездами впервые привело человека к мысли о том, что в мире существует порядок и гармония. Позже человек установил, что некоторые из звезд перемещаются на небосклоне - так человек открыл планеты Солнечной системы. С давних пор человечество пытается найти законы расположения планет. Такую попытку предприняли пифагорейцы, считавшие, что Земля имеет форму шара и расположена в центре Вселенной. Пифагорейцы считали, что расстояния между сферами соответствует музыкальным интервалам: от Земли до Луны - один тон, от Луны до Меркурия - полутон, от Венеры до Солнца - полтора тона и так далее. Предполагалось, что при вращении каждая сфера издает музыкальный тон, а вся система сфер образует гармонию - "музыку сфер".

Поиски закономерностей расположения и обращения планет в Солнечной системе продолжаются. Совсем недавно (1978 г.) русский астроном К. Бутусов рассчитал средние периоды обращения планет Солнечной системы и сопоставил их с "золотой" геометрической прогрессией.

Бутусов установил, что отношение периодов обращения соседних планет вокруг Солнца равны либо золотой пропорции 1,618, либо ее квадрату 2,618.

Уже тысячелетия люди пытаются найти математические закономерности в пропорциях тела человека, прежде всего человека хорошо сложенного, гармоничного. Неоднократно предпринимались попытки создать идеализированную эталонную модель гармонически развитого человеческого тела. Известно, что размах вытянутых в стороны рук человека примерно равен его росту, вследствие чего фигура человека вписывается в квадрат и круг. Известны идеальные фигуры, созданные Леонардо да Винчи и Дюрером. Человек, как и другие творения природы, подчиняется всеобщим законам развития. Корни этих законов нужно искать глубже - в строении клеток, хромосом и генов, а далее - в возникновении самой жизни на Земле.

Ритмы сердца и мозга Равномерно бьется сердце человека - около 60 ударов в минуту в состоянии покоя. В артериях во время систолы желудочков сердца кровяное давление достигает максимальной величины, равной 115-125 мм ртутного столбца у молодого, здорового человека. В момент расслабления сердечной мышцы (диастола) давление уменьшается до 70-80 мм рт.ст. Отношение максимального (систолического) к минимальному (диастолическому) давлению равно в среднем 1,6, то есть близко к золотой пропорции. Но не только деятельность сердца человека, но и деятельность мозга также подчиняется закону золотой пропорции. И этот факт был обнаружен русскими физиологами Соколовыми.

В книге русского ученого В.И. Коробко "Золотая пропорция и проблемы гармонии систем" (1998 г.) предпринята интересная попытка показать, что нижние и верхние пороги, которые человек способен воспринимать, связаны через золотую пропорцию.

Известно, что максимальная громкость звука, которая вызывает болевые ощущения, равна 130 децибеллам. Если разделить этот интервал золотой пропорцией 1,618, то получим 80 децибелл, которые характерны для громкости человеческого крика. Если теперь 80 децибелл разделить золотой пропорцией, то получим 50 децибелл, что соответствует громкости человеческой речи. Наконец, если разделить 50 децибелл квадратом золотой пропорции 2,618, то получим 20 децибелл, что соответствует шепоту человека.

Таким образом, все характерные параметры громкости звука взаимосвязаны через золотую пропорцию.

Золотое сечение используется в архитектуре. Для примера рассмотрим храм Василия Блаженного

В соответствии с этой композиционной идеей построены и пропорции собора. Исследователи обнаружили в нем пропорцию, основанную на ряде золотого сечения

Русский композитор Л.Сабанеев в большой статье "Этюды Шопена в освещении золотого сечения" (1925 г.) показывает, что отдельные временные интервалы музыкального произведения, соединяемые "кульминационным событием", как правило, находятся в соотношении золотого сечения. По мнению Сабанеева, количество и частота использования золотого сечения в музыкальной композиции зависит от "ранга композитора". Наиболее высокий процент совпадений отмечается у гениальных композиторов, то есть "интуиция формы и стройности, как это и следует ожидать, наиболее сильна у гениев первого класса".

Наибольшее количество произведений, в которых имеется золотое сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Скрябина (90%), Шопена (92%), Шуберта (91%).

Многое в структуре поэтических произведений роднит этот вид искусства с музыкой. Четкий ритм, закономерное чередование ударных и безударных слогов, упорядоченная размерность стихотворений, их эмоциональная насыщенность делают поэзию родной сестрой музыкальных произведений. Можно ожидать, что в строении стихотворений проявятся некоторые черты музыкальных произведений, закономерности музыкальной гармонии, а следовательно, и золотая пропорция.

Рассмотрим, например, стихотворение А.С. Пушкина "Сапожник":

Проведем анализ этой притчи. Характерно, что и первая часть этого стиха (13 строк) по смысловому содержанию делится на 8 и 5 строк, то есть все стихотворение построено по законам золотой пропорции.

Исследуя композиционную структуру картин - шедевров мирового изобразительного искусства, искусствоведы обратили внимание на тот факт, что в пейзажных картинах широко используется закон золотого сечения. Примером такой картины является картина И.И. Шишкина "Корабельная роща".

На этой знаменитой картине с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит картину золотым сечением по горизонтали. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит картину золотым сечением по вертикали. Слева от главной сосны находится много сосен - при желании можно с успехом продолжить деление золотым сечением по горизонтали левой части картины.

Необходимо сказать, что золотое сечение имеет большое применение в нашей жизни.

Благодаря исследованиям американских ученых Эллиота, Пречтера и Фишера числа Фибоначчи активно вошли в сферу бизнеса и стали основой оптимальных стратегий в сфере бизнеса и торговли. Эти открытия подтверждают гипотезу американского ученого Д. Винтера, руководителя группы "Планетарные сердцебиения", согласно которой не только энергетический каркас Земли, но и строение всего живого вещества основаны на свойствах додекаэдра и икосаэдра - двух "Платоновых тел", связанных с Золотым Сечением.

И наконец, самое, пожалуй, главное - структура ДНК генетического кода жизни, представляет собой четырехмерную развертку (по оси времени) вращающегося додекаэдра! Таким образом, оказывается, что вся Вселенная - от Метагалактики и до живой клетки - построена по одному принципу - бесконечно вписываемых друг в друга додекаэдра и икосаэдра, находящихся между собой в пропорции Золотого Сечения!


Просмотров: 1086 | Загрузок: 242
Автор: Брылёва К.И.
Теги: Золотое сечение
Предмет: Математика


Похожие образовательные материалы:
Всего комментариев: 0
avatar