Конспект и презентация к уроку математики "Применение свойств квадратичной функции при решении уравнений с параметром"

Цель урока:

Обобщить и систематизировать изученные свойства квадратичной функции.
Научить учащихся самостоятельно формулировать теоремы о корнях квадратного уравнения.
Научить применять полученные знания для решения задач с параметром.
Развивать мыслительную деятельность, умение анализировать, обобщать, делать выводы.

 

Ход урока.

 

1.  Организационный момент.   

Учитель сообщает тему урока, цели.

«Мы изучили с вами квадратичную функцию, её свойства и график. Кроме того, обратили внимание, что в тестах ГИА содержатся задания с параметром. Сегодня на уроке мы попробуем применить наши знания о квадратичной функции к решению уравнений с параметром и усилим проблему различными условиями для корней».

  

2.   Актуализация знаний и умений учащихся. (Используются элементы традиционной технологии обучения).

Сначала повторим необходимые сведения о квадратичной функции.

 Какая функция называется квадратичной?

• функция  ,  называется квадратичной.

 График квадратичной функции?

• график квадратичной функции – парабола.

    Какую информацию о графике функции f (x) можно получить, зная коэффициенты квадратного трехчлена?

  • если старший коэффициент квадратного трехчлена больше нуля, то ветви параболы направлены вверх;

  • если старший коэффициент квадратного трехчлена меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз;

  • если дискриминант больше нуля, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках;

  • если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси абсцисс;

  • если дискриминант меньше нуля, то парабола не имеет общих точек с осью абсцисс;

  • абсцисса вершины параболы равна − ;

  • парабола пересекает ось ординат в точке ( 0; с).                                                                                                                                                 

3.  Работа устно.

1. На рисунке изображён график квадратичной функции , . Какое из соотношений справедливо:  


 а)  ab > 0;    б)  са > 0;  в)  аb < 0;   г)  bс < 0.                                                                          

2. При каких значениях а парабола  f (x) = ах2 – 2х + 25  касается оси ОХ? 

     а)  а = 25,          б)  а = 0 и а = 0,04;          в)  а = 0,04.

 

3. При каких значениях k уравнение  (k -2)х2 – (4 – 2k)х + 3 = 0 имеет единственное   

    решение?

 

     а)   k = −5,  k = −2;     б)  k = 5;    в)  k = 5,  k = 2.

 

4. При каких значениях k уравнение  kх2 – (k – 7)х + 9 = 0  имеет два равных

    положительных корня?

 

      а)   k = 49,  k = 1;   б)  k = 1;     в)   k = 49.

 

5. При каких значениях а уравнение  ах2 – 6х + а = 0  имеет два различных корня?

 

    а)  а (− 3; 0)U(0; 3);        б) а (−3; 3);           в) а (−∞; −3)U(3; +∞).

 

4.  Минутка здоровья. (Используются элементы здоровьесберегающей технологии).

Учащиеся выполняют упражнение «вертолёт»: перемещают карандаш между пальцами кисти.

 

5.  Проверка исследовательской работы. (Используются элементы проблемного обучения).

На прошлом уроке мы решали задачи, связанные с исследованием расположения корней квадратного уравнения в зависимости от параметра. При этом приходилось находить корни квадратного уравнения. Если при вычислении дискриминанта получалось «хорошее число», то выполнять действия с корнями было  удобно. Но в некоторых задачах корни содержали иррациональность и выполнять с ними преобразования довольно трудоёмко. Поэтому возник вопрос о решении подобных задач без непосредственного нахождения корней квадратного уравнения. Учащиеся класса были разделены на четыре группы. Каждая группа получила задание на решение проблемы о взаимном расположении точки, лежащей на оси ОХ, нулей и коэффициентов квадратичной функции. Послушаем сообщения представителей  каждой группы.

Докладчик каждой группы с помощью интерактивной доски демонстрирует график своей проблемы, записывает свою систему и формулирует вывод, объясняя, как они пришли к такому выводу. (Используются элементы информационной технологии).     

Остальные учащиеся записывают результат в тетрадь.

 

Хочется обратить внимание на то, что не следует заучивать эти правила. Необходимо понять принцип их получения и уметь провести необходимые рассуждения в конкретных задачах. И ещё – при решении задач не стоит увлекаться общими теориями, следует попытаться сначала выявить специфику данного конкретного примера.

 

6.  Закрепление материала. (Используются элементы технологии модульного обучения).

Используя полученные знания, решить уравнения с параметрами.

 

Задание 1  (№ 2.36(1)).

При каких значениях а корни уравнения  х2 – 2ах + (а + 1)(а – 1) = 0  принадлежат промежутку  [−5; 5]?

Решение.

Рассмотрим функцию f(х) = х2 – 2ах + (а + 1)(а – 1).

Условию задачи удовлетворяет система

 

   25 + 10а + (а + 1)(а – 1) ≥ 0,          а2 + 10а + 24 ≥ 0,           а ,

   25 − 10а + (а + 1)(а – 1) ≥ 0,    а2 – 10а + 24 ≥ 0,      а ,         

   а2 – (а2 – 1) ≥ 0,                               а2 – а2 + 1 ≥ 0,                −5 < а < 5;   

   −5 < а < 5;                                         −5 < а < 5;                                       

                                                             

  −4 ≤ a ≤ 4.

 

Учащиеся решают самостоятельно с  последующей проверкой.

 

Задание 2  (№ 2.38(1)).

При каких значениях а число 1 находится между корнями квадратного трехчлена

х2 + (а + 1)х – а2 ?

Решение.

Рассмотрим функцию f(х) = х2 + (а + 1)х – а2. Условию задачи удовлетворяет неравенство

аf(М) ˂ 0.

                                                                                                                    

Задание 3.

При каких значениях а уравнение   имеет четыре разных решения?

Решение.

 (1)

Пусть х2 = t. Тогда уравнение (1) примет вид: t2 + (1 – 2а)t + а2 – 1 = 0.

Первоначальное уравнение имеет четыре решения тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет два разных положительных решения, то есть 0 < t1 < t2. Поэтому имеет место система:

 

7.  Домашнее задание: № 2.37(1), № 2.40(1), № 2.42(1).

8. Подведение итогов, выставление отметок.


Просмотров: 189 | Загрузок: 62
Автор: Носкова Н.М.
Теги: квадратичная функция
Предмет: Математика


Похожие образовательные материалы:
Всего комментариев: 0
avatar