Конспект и презентация к уроку математики "Решение задач с помощью квадратных и рациональных уравнений"

Цели

Дидактическая

Повторить определение квадратного уравнения, различные формулы для решения квадратных уравнений.

Рассмотреть различные типы задач, решаемые с помощью квадратных или рациональных уравнений, а также их систем.

Воспитательная

Развивать интерес учащихся к предмету: алгебра.

Стимулировать ребят к поиску различных способов решения задач.

Ход урока

Пригласительный билет в «Дом актера» (математический диктант №1)
Задача №1 (год создания группы)
Задача №2 (Степень популярности)
Задача №3 (Ходить полезно)
Задача №4 (Увлечения)
Входной билет на встречу со зрителями сериала «Ранетки» (математический диктант №2)
Задача №5 (Путешествия)
Задача №6 (Минута славы)
Задача №7 (Я - поэт…)
Задача № 8 (Музыка, футбол, математика)
Выводы
Домашнее задание.

 

   Здравствуйте, дорогие ребята! Сегодня мы с вами - репортеры.

Наша задача – взять интервью у участников группы «Ранетки».

Нам необходимо попасть в «Дом актера», где сегодня праздничный вечер.

Для того чтобы получить пригласительный билет, придется потрудиться и вспомнить ранее изученный материал.

Математический диктант

1 вариант

Сформулируйте определение квадратного уравнения.
Запишите пример неполного квадратного уравнения.
Запишите, чему равен второй коэффициент в уравнении: 2х2+х-3=0.
Запишите, чему равны: а, в и с в уравнении  -зх2+5х=0.
Сколько корней имеет неполное квадратное уравнение вида
Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант положительный?
В каком случае квадратное уравнение имеет два равных корня?
Напишите формулу дискриминанта квадратного уравнения.
Напишите формулу корней квадратного уравнения со вторым четным коэффициентом.
Сформулируйте теорему Виета.
Чему равна сумма корней квадратного уравнения
Приведите пример целого рационального уравнения.

 

2 вариант

Какое уравнение называют неполным квадратным уравнением?
Запишите пример квадратного уравнения.
Запишите, чему равен первый коэффициент в уравнении: .
Запишите, чему равны: а, в, с в уравнении ?
Сколько корней может иметь неполное квадратное уравнение вида ?
Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант отрицательный?
Какое уравнение называют приведенным квадратным уравнением?
Напишите формулу дискриминанта квадратного уравнения со вторым четным коэффициентом.
Напишите формулу корней квадратного уравнения.
Чему равно произведение корней квадратного уравнения ?
Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.
Приведите пример дробного рационального уравнения.

Вариант 1

Вариант 2

1.Квадратным уравнением называется уравнение вида где  х- переменная, а, в, с-некоторые числа, причем а≠0

1.Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов в или с равен 0, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

2.-3х2+5х=0

2.Х2+4х-7=0

3.в=1

3.а=1

5.Два или ни одного корня.

5.Два корня

6.Два корня

6.Ни одного корня.

7.Если дискриминант равен 0

7.Если а=-1

10.Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

10.Если числа m , n таковы, что их сумма равна – р, а призведение равно q , то эти числа являются корнями уравнения

 

Задания выполнены. Друзья, вы получаете пригласительные билеты и отправляетесь за интервью.

«Ранетки» создают интригу. На вопросы репортеров они отвечают нестандартно - задачами.

Первые 2 задачи решаем подробно вместе с доской.

Задача №1  Найдите год создания группы «Ранетки», если цифра единиц на 5 больше цифры десятков, количество десятков равно количеству сотен, количество тысяч на 3 меньше количества единиц, а произведение данного числа и  суммы его цифр равно 14035 .

Решение: Х-десятков и сотен, (х+5)-единиц, (х+2)-тысяч, (1000(х+2)+100х+10х+х+5)

-данное число, (х+2+х+х+х+5)-сумма цифр, произведение числа и суммы цифр-

(1000(х+2)+100х+10х+х+5)(4х+7) или14035.

Уравнение: (1000(х+2)+100х+10х+х+5)(4х+7)=14035,

                     (4444х+15797)х=0

                     х=0 или х=-15797:4444.

Ответ: 0-десятков, сотен, 5-единиц, 2-тысяч . 2005 год.

Задача №2. В один из грустных осенних дней группу «Ранетки»

слушали старшеклассники на переменах и 10 сотен студентов,

ехавших в автобусах и метро на лекции. Затем к ним

присоединились  20 сотен студентов, подрабатывающих на разгрузке

вагонов. В результате,  количество старшеклассников в общей массе слушателей уменьшилось на 25%.  Какое  наибольшее количество

старшеклассников могли в данный момент слушать «Ранеток»?

Решение:  х(сот.чел.)-старшеклассников и студентов слушали «Ранеток» вначале, (х-10)(сот.чел).- старшеклассников, (х+20) сот.чел.-всего.                   ((х-10)/х)100 % составляют старшеклассники от первоначального количества людей,((х-10)/(х+20))100 %-составили старшеклассники от всего количества людей.

((х-10)/х)100 - ((х-10)/(х+20))100  (%) или 25%.

Уравнение: -

х(х+20)≠0
 х=40 или х=20.

40-10=30 тыс. чел. старшеклассников слушали группу «Ранетки»

Ответ: 30 тыс. чел.

Один из учащихся читает задачу №3. Он выполняет чертеж и предлагает идею решения.

Учащиеся доводят решение до конца самостоятельно. Первые 5 человек, выполнивших задание, показывают решение учителю. Получают оценки. Остальные учащиеся проверяют решение с помощью компьютера.

Задача №3  После репетиции песни  «Стрела» Аня Руднева и Женя Огурцова отправились пешком на север Москвы со скоростью 5 км/ч, а Аня  Байдовлетова и Лера Козлова - на восток со скоростью 6 км/ч. Через какое время расстояние между дуэтами будет 2 √61 км?

 

Через х часов расстояние будет 2 √61(км), 5х (км)-

прошли Аня и Женя, 6х(км) прошли Аня и Лера.

 

Уравнение:
(5х)2+(6х)2= (2 √61)2
х=±2
Ответ: через 2 часа.

Задачу №4 решаем вместе у доски.

Задача№4 Во время отдыха Лена Третьякова и Наташа Щелкова играют иногда в теннис на корте, длина которого вдвое больше ширины, а площадь равна 800 м2  Найдите расстояние между девушками, если они встанут по диагонали прямоугольной площадки

Решение

х(м)-ширина, 2х(м)-длина, х(2х)(м2) или800м2.
Уравнение:
2х2=800, х=20.
20м-ширина, 40м-длина,
   =20√5м
Ответ: 20√5 м.

Но, что это, друзья, наши любимые актрисы и певицы уезжают!!! Понятно, они отправляются на встречу со зрителями. Что же делать, ведь у нас осталось еще много вопросов. Придется ехать следом.

Встреча должна состояться около здания кинотеатра. Однако, попасть туда не так-то просто - все билеты проданы.

Нам повезло - устроители встречи принимают неординарное решение. На встречу попадет тот, кто устно сумеет решить следующие уравнения.

1 Вариант

1) 3х2-х-2=0           корни  1 и -2/3

2) 2х2+3х+1=0       корни  -1и -1/2

3) -2х2+5х-2=0      корни    2 и 1/2

4) 19х2-362х+19=0 корни 19 и 1/19

5) -13х2+168х+13=0  корни  13и -1/13

6) 31х2-960х-31=0     корни  31 и -1/31

2 Вариант

1) -6х2+4х+2=0        корни  1 и -1/3

2) 3х2+5х+2=0         корни  -1 и -2/3

3) 5х2+26х+5=0       корни   -5 и -1/5

4) -21х2-442х-21=0 корни  -21 и -1/21

5) 15х2+224х-15=0 корни  -15 и 1/15

6) 25х2-624х-25=0   корни  25 и -1/25

Ребята используют формулы для решения 1 и 2 уравнения

.1) если а+в+с=0, то

                                 2) если а+с=в, то

Для решения третьего уравнения применяется формула:

если уравнение имеет вид  , то

Четвертое уравнение решается по формуле:

если  .

Для решения пятого уравнения применяется формула:

если  .

Шестое уравнение решается, если

.

Работа в классе осуществляется следующим образом. На экране появляются уравнения: по три для каждого варианта. Ребята должны устно решить их и ответы записать в тетради рядом с соответствующим номером задания. Затем, под руководством учителя учащиеся осуществляют самопроверку и ставят себе оценку.

Справившиеся на «4» и «5»-получают входной билет и попадают в кинотеатр.

Задача №5 решается самостоятельно на основе задачи №3.

Первые 5 человек показывают решение учителю. Они получают оценки.

Один из решивших устно объясняет решение.

Задача№5 С аэродрома на двух различных самолетах вылетели на гастроли группа «Ранетки» и группа  « ГДР». Первый самолет летел на запад, второй - на юг. Через 2 часа расстояние между самолетами было 360√41  км. Найдите скорости самолетов, если скорость второго составила  80 % скорости первого.

Решение

Уравнение:
(2х)2+(2·0,8х)2=(360√41)2,
х=±900,
900 км/ч-скорость 1 самолета,
900·0,8=720 км/ч-скорость 2 самолета.
Ответ: 900км/ч, 720км/ч.

Задача №6 решается на доске одним из учеников.

Задача №6  На тренировке по фигурному катанию Наташа Щелкова отрабатывала движение по окружности. Рядом тренировалась ее подруга. Две фигуристки движутся по двум окружностям, радиусы которых относятся как 1:6. Найдите скорость движения каждой девушки, если за 10 секунд подруга Наташи, двигаясь по большей окружности, прошла на 2 метра больше и совершила при этом в 5 раз меньше оборотов, чем Наташа.

Решение V1(м/с) -скорость Наташи,v2   м/с-скорость подруги , пусть 1-радиус 1 окружности ,тогда 6-радиус второй. За 10 сек Наташа проехала 10v1(м), подруга-10v2(м) или 10v1+2. (10 V1)/(2п) - количество вращений Наташи или, (10v2)/(12п) -количество вращений подруги,

Система:      5·5v2/(6п)=(5v1)/п,

                      10v1+2=10v2.

                       v2=1,2 (м/с),

                        v1=1(м/с).

Задачу №7 ребята решают в парах. Один из решивших учеников устно рассказывает «шапку». Затем пишет на доске уравнение и решает его.

Зкадача № 7 Аня Руднева – романтическая натура, вместе с тем, обладает упорством и настойчивостью в достижении цели. Сочиняя свой первый трек, она каждый час уничтожала по 4 из всех исписанных листов бумаги. В течение дня Аня работала столько часов, сколько листов бумаги тратила за час.За день было написано 45 листов. Сколько часов работала Аня?

Решение

Х листов Аня писала каждый час,(х-4) листов
оставалось после каждого часа работы,
х(х-4)листов всего за день или 45.
Уравнение: х(х-4)=45.
                  х1=9,х2=-5.

Ответ: 9 часов.

Задачу №8 предлагается решить двумя способами.

Задача №8. Во время игры в футбол в команде «Чертаново» мяч от игрока к игроку передавался в среднем со скоростью 17 м/с. Во время удара по воротам Лена Третьякова увеличила скорость движения мяча на несколько метров в секунду и забила гол, находясь в 40 м от ворот противника. Пропустившая гол соперница, выбросила мяч из ворот со скоростью на столько же метров в секунду меньше, видно сильно расстроившись. Мяч пролетел 42м. но на одну секунду медленнее предыдущего полета. Определите,  как увеличилась скорость мяча во время гола.

Решение

Х (сек)-время, за которое мяч пролетел 40м. (х+1)(сек)- время, за которое  мяч пролетел 42 м. (м/с)-скорость, с которой мяч летел в ворота.

(м/с)-скорость, с которой мяч летел из ворот.

Составим уравнение:

+

40(х+1)+42х-34х(х+1)=0, х(х+1)≠0.

17х2-24х-20=0,

 не удовлетворяет условию задачи.

2 (с)- мяч летел в ворота, тогда его скорость была  (м/с),

тогда изменение скорости 20-17=3 (м/с).

Второй способ решения задачи

Х (м/с)-на столько увеличена скорость, (17+х)(м/с)-скорость мяча, летящего в ворота, (17-х)(м/с)- скорость мяча, летящего
из ворот,42/(17-х)-40/(17+х) (с) или 1с.
Уравнение: 42:(17-х)-40:(17+х)=1.
х1=-85, х2=3.
Ответ: 3(м/с) .

Итак, уважаемые репортеры, будущие журналисты, поздравляю вас с окончанием работы.

Скажите, что нового вы сегодня узнали на уроке?

Поднимите руки, кто получил сегодня положительную оценку?

Чем вам понравился урок?

Чем не понравился?

Запишите домашнее задание: № 626, 627,628.

 

Литература.

Алгебра: математические диктанты. 7-9 классы/ авт.- сост. А.С.Конте.

Волгоград: Учитель, 2007.


Просмотров: 609 | Загрузок: 216
Автор: Котловская И.Ю.
Теги: рациональное уравнение, квадратное уравнение
Предмет: Математика


Похожие образовательные материалы:
Всего комментариев: 0
avatar