Конспект и презентация к уроку математики "Легенда о шахматной доске или сумма n первых членов геометрической прогрессии"

Цели  урока:

Образовательная:

 Вывести  формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии;

Развивающая:

формирование  элементов  алгоритмической  культуры.

Воспитательная:

формирование  отношения  к  математике  как  к  части  общечеловеческой  культуры.

Задачи  урока:

увлечь учащихся красивой легендой  и с её помощью вывести формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии;
показать применение формул при решении примеров.

Тип  урока:  урок  ознакомления  с  новым  материалом

Повторение: определение геометрической прогрессии;

                            формулы n-го члена геометрической прогрессии.

Новая тема

 

ЛЕГЕНДА О ШАХМАТНОЙ ДОСКЕ

Шахматы - одна из самых древних игр. Она существует уже многие века, и неудивительно, что с нею связаны различные предания, правдивость которых, за давностью времени, невозможно проверить.

Одну из подобных легенд я и хочу рассказать. Чтобы понять её, не нужно вовсе уметь играть в шахматы: достаточно знать, что игра происходит на доске, разграфлённой на 64 клетки (попеременно чёрные и белые).

 

1) Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищён её остроумием и разнообразием возможных в ней положений.

Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый учёный, получавший средства к жизни от своих учеников.

— Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, - сказал царь.

Мудрец поклонился.

— Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твоё пожелание, - продолжал царь. — Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь её.

Сета молчал.

— Не робей, - одобрил его царь,- Выскажи своё желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.

— Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра, по зрелому размышлению, я сообщу тебе мою просьбу.

Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.

— Повелитель, - сказал Сета, - прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

— Простое пшеничное зерно? - изумился царь.

— Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью 4, за четвёртую - 8, за пятую - 16, за шестую - 32 …

— Довольно, - с раздражением прервал его царь. — Ты получишь свои зёрна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моею милостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример уважения к доброте своего государя. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей. Сета улыбнулся, покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца.

 

2) За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унёс ли уже безрассудный Сета свою жалкую награду.

— Повелитель, - был ответ, - приказание твоё исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зёрен.

Царь нахмурился. Он не привык, чтобы повеления его исполнялись так медлительно. Вечером, отходя ко сну, царь ещё раз осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца.

— Повелитель, - ответили ему, - математики твои трудятся без устали и надеются ещё до рассвета закончить подсчёт.

— Почему медлят с этим делом? - гневно воскликнул царь. — Завтра, прежде чем я проснусь, всё до последнего зерна должно быть выдано Сете. Я дважды не приказываю. Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение. Царь приказал ввести его.

— Прежде чем скажешь о твоём деле, - объявил Шерам, - я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.

— Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час, - ответил старик. — Мы добросовестно исчислили всё количество зёрен, которое желает получить Сета. Число это так велико ... — Как бы велико оно не было, - надменно перебил царь, житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана ...

— Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зёрен, какое потребовал Сета. Нет его и в житницах всего государства. Не найдётся такого числа зёрен и на всём пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажите растопить льды и снега, покрывающие далёкие северные пустыни. Пусть всё пространство их сплошь будет засеяно пшеницей. И всё то, что родиться на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду.

С изумлением внимал царь словам старца.

— Назови же мне это чудовищное число, - сказал он в раздумье.

— 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 биллиона 709 миллионов 551 тысяча 615, о повелитель!

 

3) Такова легенда. Действительно ли было то, что здесь рассказано, неизвестно, - но что награда, о которой говорит предание, должна была выразиться именно таким числом, в этом вы сами можете убедиться терпеливым подсчётом.

Число зерен, о которых идёт речь, является суммой шестидесяти четырех членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель равен 2. обозначим эту сумму через S:

S=1+2+2²+2³+…+2⁶²+2⁶³

Умножим обе части записанного равенства на знаменатель прогрессии, получим:

2S=2+2²+2³+…+2⁶²+2⁶³+2⁶⁴₁

Вычтем почленно из второго равенства первое и проведём упрощение:

2S-S=(2+2²+2³+…+2⁶²+2⁶³+2⁶⁴) -(1+2+2²+2³+…+2⁶²+2⁶³),
S=2⁶⁴-1.

Масса такого количества пшеничных зерен больше триллиона тонн.

Это заведомо  превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.

Выведем теперь формулу суммы nпервых членов произвольной геометрической прогрессии. Воспользуемся тем же приёмом, с помощью которого была вычислена сумма S.

Пусть дана геометрическая прогрессия (bn). Обозначим сумму n первых членов через Sn:

Sn =b₁+b2+…+bn-1+bn                      (1)

Умножим обе части этого равенства на q:

 Snq=b₁q + b2q+b3q+…+bn-1q +bnq.

Учитывая, что b₁q=b2,  b2q= b3,  b3q=b4 ,…, bn-₁q=bn ,    получим

Sn q =b2+ b3 +b4 +…+bn-1+ bn + bnq           (2)        

Вычтем почленно из равенства (2) равенство  (1) и приведём подобные члены:

Snq –Sn =(b2+b3+ …+bn-₁+bn + bnq)-(b₁+b2+…+bn-₁+bn)= bnq- b₁

Sn(q –1)= bnq- b₁     Отсюда следует, что при  q≠1

 

Подведем итог:

Мы получили формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии, в которой q ≠1

 

При решении задач удобно пользоваться формулой записанной в другом виде. Подставим в формулу (1) вместо bn выражение b₁qn-1. Получим:

 

Если q=1, то все члены прогрессии равны первому члену и Sn=nb1.

 

Рассмотрим  пример, в котором работает формула (II):

Пример.

Найдём сумму первых десяти членов геометрической прогрессии (bn) , в которой b1=3 и q=0,5.

Так как известны первый член и знаменатель прогрессии, то удобно воспользоваться формулой (II)

 

Ответ:   .

3. Закрепление новой темы.

Закрепление новой теме можно достичь на решение следующих номеров из учебника «Алгебра 9 класс» под редакцией С.А.Теляковского 2009:

№648(а) , №649(а, б) , №650(а)

4. Домашнее задание.

a) Для сильных учащихся – вывод формулы

b) Для творческих учащихся – зарисовки героев и фрагментов из легенды

с) Для всех - №648(б) , №649(в, г) , №650(б)

 

Литература:

«Алгебра 9 класс» под редакцией С.А.Теляковского, Москва «Просвещение» 2009г.
«Живая математика», математические рассказы и головоломки под редакцией В.Г.Болтянского, Москва «Наука» 1978г.


Просмотров: 196 | Загрузок: 57
Автор: Чернова Г.П.
Теги: Геометрическая прогрессия
Предмет: Математика


Похожие образовательные материалы:
Всего комментариев: 0
avatar