Презентация к уроку математики. "Производная и её применение"

Геометрический смысл производной

Слайд 2.  Честь открытия основных зако­нов математического анализа принадлежит немецкому математику Г. Лейб­ницу. К этим законам Лейбниц пришел, решая задачу проведения касательной к произвольной кри­вой.

Слайд 3.  Чтобы составить наглядное представление о том, как провести касательную, нужно вообразить се­бе, что к кривой, изготовленной из жесткого материала (например, из проволоки), вы приставляете линейку так, чтобы она косну­лась этой кривой в выбранной точ­ке. Если вы вырезаете из бумаги криволинейную фигуру, то нож­ницы направлены по касательной к ее границе.

Постараемся перевести нагляд­ное представление о касательной на более точный язык. Будем счи­тать, что кривая — это ломаная с очень большим числом маленьких звеньев. Именно такая точка зре­ния была у создателей дифферен­циального исчисления. В первом учебнике по анализу, написанном 300 лет назад последователем Лейбница маркизом Лопиталем, дано следующее определение ка­сательной: «Если продолжить од­но из маленьких звеньев ломаной, составляющей кривую линию, то эта продолженная таким образом сторона будет называться каса­тельной к кривой»

Слайд 4.  Чтобы     написать     уравнение касательной к графику функцииу = f(x) в точке Р(х; у), достаточно знать ее угловой коэффициент k. Вычисление этого коэффициента — это и есть нахождение производ­ной. Поэтому короткое геометри­ческое определение производной таково:

Производная — это угловой ко­эффициент касательной.

Для точного объяснения понадобится предельный переход.

Пусть дана некоторая кривая и точка Р на ней (рис. Слайда)  Возьмем на этой кривой другую точку Р1 и проведем прямую через точки Р и Р1. Эту прямую обычно называют секущей. Станем приближать точ­ку Р1 к Р. Положение секущей РР1 будет меняться, но с приближением Р1  к Р начнет стабилизи­роваться. Предельное положение секущей РР1 при стремлении точ­ки Р1 к точке Р и будет касатель­ной к кривой в точке Р.

Слайды 5, 6.  Актуализация знаний по теме «Угловой коэффициент прямой».

Слайды 7, 8.  Как перевести описанное по­строение на язык формул? Пусть кривая является графиком функ­ции у = f(x), а точка Р, лежащая на графике, задана своими коор­динатами (х; у). Касательная яв­ляется некоторой прямой, прохо­дящей через точку Р. Чтобы по­строить эту прямую, достаточно найти ее угловой коэффициент. Обозначим угловой коэффициент касательной k. Сначала найдем угловой коэффициент kx секущей. Пусть абсцисса точки Р рав­на хх

Для нахождения k надо устре­мить х  к х0. Тогда точка Р1  начнет приближаться по кривой к точкеР, а секущая РР1 — к касательной в точке Р.

Этот предельный переход носит название   дифференцирования  функции f.

Дифференцирование, или на­хождение производной, — это новая математическая операция.

Слайд 9, 10, 11. Для нахождения значения про­изводной в данной точке надо рас­смотреть маленький участок из­менения аргумента вблизи этой точки. Производная будет при­ближенно равна угловому коэффициенту секущей (на языке геометрии). Для точного вычисления произ­водной надо совершить предель­ный переход — стянуть отрезок изменения аргумента в точку. Тогда секущая  превратится  в касательную, и мы вычислим производную.

 

Механический смысл производной

Слайд 12.  Представим себе, что мы от­правляемся в автомобильную по­ездку. Садясь в машину, посмот­рим на счетчик километража. Те­перь в любой момент времени мы сможем определить путь, прой­денный машиной. Скорость дви­жения мы узнаем по спидометру.

Таким образом, с нашим дви­жением (как и с движением любой  материальной точки) связаны две величины — путь s и скорость v, которые являются функциями времени t.

Ясно, что путь и скорость связа­ны между собой. В конце XVII в. великий английский ученый Иса­ак Ньютон открыл общий способ описания этой связи. Открытие Ньютона стало поворотным пунк­том в истории естествознания. Ока­залось, что связь между количест­венными характеристиками самых различных процессов, исследуе­мых физикой, химией, биологией, техническими науками, аналогич­на связи между путем и скоростью.

Основными математическими понятиями, выражающими эту связь, являются производная и интеграл. Как вы убедитесь в дальнейшем, скорость — это про­изводная пути, а путь — это ин­теграл от скорости.

Построенная Ньютоном модель механического движения остается самым важным и простым источ­ником математического анализа, изучающего производную и ее свойства. Вот почему на вопрос, что такое производная, короче всего ответить так:

Производная — это скорость.

А что такое скорость? Оказы­вается,  объяснить  это  не  так

Мы считаем, что нам задан закон, по которому можно вычислить путь s как функцию времени t.

Например, если точка движет­ся под действием силы тяжести с нулевой  начальной  скоростью,

Слайд 13.  При свободном падении тела зависимость пути от времени задается определенной функцией(см. слайд). Зафикси­руем произвольный момент време­ни  t  и  вычислим  среднюю ско­рость на отрезке [t; t1]

Слайд 14.  Если теперь будем стягивать отрезок [t; t1]  к точке t, т. е. будем брать значения t1   все ближе и бли­же к t, то сумма t1 + t будет при­ближаться  к 2t, а  выражение g (t1 + t) будет приближаться к gt

Последнее число является значением мгновенной скорости в точке t. Мы получим хорошо известную формулу ско­рости v = gt. Процедура, подобная переходу от средней скорости на отрезке [t; t1] к мгновенной ско­рости в точке t при стягивании от­резка в точку t, носит название предельного перехода.

Слайды 15,16.  Используя слово «предел», можно сказать, что мгновенная скорость в точ­ке f — это предел средней скорости при стягивании отрезка, на котором она измеряется, в точку t или в символической записи (см. слайд).

 

Презентация составлена по учебникам:

Колмогоров А.Н. «Алгебра и начала анализа 10 – 11 кл»
Никольский С.М. «Алгебра и начала анализа 11 кл.»
Башмаков М.И. «Алгебра и начала анализа 10 – 11 кл.»
Е. Арутюнян «Универсальное учебное пособие. Математика 7 – 11 кл.»


Просмотров: 198 | Загрузок: 73
Автор: Каратанова М.Н.
Теги: Производная
Предмет: Математика


Похожие образовательные материалы:
Всего комментариев: 0
avatar