Презентация к уроку математики "Методы решения логарифмических уравнений"

1.Уравнения, решаемые по определению

logab=c,
 ac =b, a>0, a≠1, b>0
Пример: 
log3(2-x)=2         ОДЗ: 2-x>0
2-x=32                x<2
2-x=9
-x=6
x=-6
Ответ: x=-6

2.Уравнения, решаемые с использованием основных свойств

Пример:
log2(x+1)+log2(x+2)=1  ОДЗ:  x+1>0    x>-1
log2(x+1)(x+2)=1               x+2>0    x>-2
(x+1)(x+2)=21                                           х>-1
x2+3x=0
x(x+3)=0
x1=0      x2=-3(не уд. ОДЗ)
Ответ: x=0
 
3.Метод потенцирования
Пример:
lg(x-4)+lg(x-6)=lg8  ОДЗ:  x-4>0  x>4  x>6
lg(x-4)(x-6)=lg8             x-6>0  x>6
(x-4)(x-6)=8
x2-10x+16=0
x1=8
x2=2 (не уд. ОДЗ)
Ответ: x=8

4.Метод подстановки
а)Уравнения, сводящиеся к квадратным
Пример1:
lg2x-3lgx+2=0             ОДЗ: x>0         
пусть lgx=t, tєR                 
t2-3t+2=0                        
t1=1   t2=2                         
если t1=1, то           если t2=2, то
lgx=1                     lgx=2
x=10                     x=100
Ответ: x1=10, x2=100                     
 
Пример2:
lg2(10x)=5-lgx          ОДЗ: x>0
(lg10+lgx)2=5-lgx
1+2lgx+lg2x-5+lgx=0
lg2x+3lgx-4=0
пусть lgx=t
t2+3t-4=0
t1=1;  t2= - 4
если t1=1, то     если t2= - 4,то
lgx=1               lgx=-4        
x=10               x=0,0001    
Ответ:  x1=10, x2=0,0001
 
б)Использование формулы
 
Пример:
logx(9x2)log23x=4              ОДЗ:   x>0  
(logx9+logxx2)log23x=4                  x≠1
(2logx3+2)log23x=4
(2/log3x+2)log23x=4         
пусть log3x=t (2/t+2)t2=4
2t2+2t-4=0
t1=1;    t2=-2
если t1=1, то                 если t2=-2, то
log3x=1;    x1=3;               log3x=-2.     x2=1/9.
Ответ: x1=3, x2=1/9

5.Метод приведения к одному основанию
Пример:
log2x+log4x+log8x=11     ОДЗ:x>0
log2x+log22x+log23x=11
log2x+1/2log2x+1/3log2x=11
11/6log2x=11
log2x=6
x=26
x=64
Ответ: x=64
 
6.Метод логарифмирования
Пример:
x (lgx+5)/3 =105+lgx            ОДЗ:x>0
прологарифмируем уравнение по основанию 10
lgx(lgx+5)/3=lg105+lgx
((lgx+5)/3)lgx=(5+lgx)lg10
1/3(lgx+5)lgx=5+lgx|*3
(lgx+5)lgx=15+3lgx
lg2x+5lgx=15+3lgx
lg2x+2lgx-15=0
пусть lgx=t
t2+2t-15=0
t1=-5;    t2=3
если t1=-5, то lgx=-5          если t2=3, то lgx=3
x1=0,00001                           x2=1000
Ответ: x1=0,00001, x2=1000      
 
7.Использование специальной формулы
Пример:
3xlog52+2log5x=64         ОДЗ: x>0
3*2log5x+2log5x=64
4*2log5x=64 |:4
2log5x=16
2log5x=24
log5x=4
x=54
x=625
Ответ: x=625
 
8.Использование свойств монотонности функции
Пример:
log3(x+1)+log4(5x+6)=3       ОДЗ: x> -1,2
y= log3(x+1) - возрастающая функция
y= log4(5x+6)- возрастающая функция
3 - const
Сумма двух возрастающих функций равна возрастающей функции.
Используем утверждение: если возр. функция
равна const или убыв. функции, тогда
уравнение имеет один корень, который находится с
помощью метода подбора.
Ответ: x=2
 
9.Использование свойств ограниченности функции
Пример:
log2(17-|sin0,5πx|)=√2x+15-x2
1)рассмотрим левую часть
т.к. 0≤ |sin0,5πx| ≥ 1 ,то
log2(17-|sin0,5πx|) ≥log2(17-1)=log216=4 т.е.
0≤ |sin0,5πx| ≥ 4
при x=1 -  достигается равенство
2)рассмотрим правую часть
√2x+15-x2= √16-(x+1) ≤ √16=4=16-(x-1)2
√2x+15-x2≤4
при x=1 – достигается равенство
Ответ:  x=1
 
  10.Однородные уравнения II степени
Пример:
3log22(x+1)-4log2(2x+1)log2(x+1)+log22(2x+1)=0
Делим на log22(2x+1)            ОДЗ:  x>1/2
3(log2(x+1)/log2(2x+1))2-4log2(2x+1)log2(x+1)/log22(2x+1)+1=0
             t           
3t2-4t+1=0
t1=1  t2=1/3
если t1=1 то,                       если t2=1/3 то,
log2(x+1)/log2(2x+1)=1             log2(x+1)/log2(2x+1)=1/3
log2(x+1)=log2(2x+1)                3log2(x+1)=log2(2x+1)
x+1=2x+1                           log2(x+1)3=2x+1
x=0                                  x(x2+3x+1)=0
                                      x1=0 x2=(-3+√5)/2  x3=(-3-√5)/2
Ответ: x1=0, x2= =(-3+√5)/2                   не уд.
11.Уравнения, содержащие неизвестное в основании и показателе степени
Пример:
x√x=√xx                                       ОДЗ:  x>0,
logx x√x =logx √xx                        x≠ 1
logx xx0,5 =logx (x0,5)x
√xlogx x=0,5logxx
√x=0,5x
√x(1-0,5√x)=0
√x=0 (не уд.ОДЗ)      (1-0,5√x)=0
                           √x=2
               x=4
Ответ: x=4
12.Функционально - графический метод
(х – 1) = log2x
Строим графики функций у = (х – 1) и
у = log2x.
Ответ: х = 1, х=2.
Решить самостоятельно
llq(х²-2х)=lg30-1;
llg(x²+2x-3)=lg(6X-2);
llog3X*lоg2х =4 log32;
llog3X+log9X+log27X=1/12;
llog5(X-l0)-log5(X+2)=-1;
l3+ 2logX+13=2log3(X+1).

Литература:
Математика. Тренировочные тематические задания ЕГЭ повышенной сложности. Сост. Г.И. Ковалева и др. «Учитель». Волгоград. 2005.
Математика. ЕГЭ. Эффективная подготовка. Л.Д. Лаппо, М.А. Попов. «Экзамен». Москва. 2007.


Просмотров: 266 | Загрузок: 97
Автор: Чупрова О.С.
Теги: логарифмические уравнения
Предмет: Математика


Похожие образовательные материалы:
Всего комментариев: 0
avatar