Презентация к уроку математики "Элементы теории вероятностей на ЕГЭ"

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайный явлений: случайные события, случайные величины,  их свойства и операции над ними
История возникновения теории вероятностей

   Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмперическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях.
 
   Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей.
 
   Под влиянием поднятых и рассматриваемых ими вопросов решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс. При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно.
 
   Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей (понятие вероятности как величины шанса; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса), а также используются теоремы сложения и умножения вероятностей (не сформулированные явно), вышла в печатном виде на двадцать лет раньше (1657 год) издания писем Паскаля и Ферма (1679 год).
 
   Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний.
 
   В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы.
 
  Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П.Л.Чебышев, А.А.Марков и А.М.Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова.
 
   Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андрей Николаевич Колмогоров. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.
 
Вероятность случайного события

ЗАДАЧА НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ КЛАССИЧЕСКОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
В сборнике билетов по физике всего 50 билетов, в 12 из них встречается вопрос по конденсаторам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по конденсаторам

Решение:
 
m=50-12=38 –билетов без конденсаторов
n=50 –всего билетов
 
Р(А)=        =0,76          Ответ: 0,76
 
Решите самостоятельно:

В сборнике билетов по химии всего 35 билетов, в 7 из них встречается вопрос по кислотам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по кислотам.

Ответ: 0,8
 
Основные виды задач
1 вид. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 9 спортсменов из Дании, 3 спортсмена из Швеции, 8 спортсменов из Норвегии и 5 — из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Финляндии
Решение
Всего участвует n = 9+3+8+5=25 спортсменов.
  А т.к. финнов m = 5 человек, то вероятность того, что на последнем месте будет спортсмен из Финляндии
 
P =        = 0,2
В соревновании по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Македонии, 9 спортсменов из Сербии, 7 спортсменов из Хорватии и 5 – из Словении. Порядок в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Македонии

m = 4
n = 25
 
P =      = 0,16
2 вид. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 180  сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение
 m = 180-8 = 172 сумки качественные,
n= 180 всего сумок
 
P =           = 0,955...≈ 0,96
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 80 качественных сумок приходится 8 сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной.

m = 80
n = 80+8=88 
 
P =      = 0,91
3 вид. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Решение Игральные кости - это кубики с 6 гранями. На первом кубике может выпасть  1, 2, 3, 4, 5 или  6 очков. Каждому варианту выпадения очков соответствует 6 вариантов выпадения очков на втором кубике. Т.е. n = 6×6 = 36.   Варианты (исходы эксперимента) будут такие:
1;1  1;2  1;3  1;4  1;5  1;6
2;1  2;2  2;3  2;4  2;5  2;6   и т.д. ..............................
6;1  6;2  6;3  6;4  6;5  6;6
Подсчитаем количество исходов (вариантов), в которых сумма очков двух кубиков равна 8:  2;6   3;5;  4;4   5;3  6;2     Всего m = 5 вариантов. Найдем вероятность.  
 
P =         = 0,138 ≈ 0,14
В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка.

m = 3
это  1,1,2
         1,2,1
         2,1,1
n = 6 × 6× 6 = 216
 
P =
 
4 вид. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

Решение
Всего вариантов n = 2×2×2=8.
Благоприятных m = 3 варианта: о; о; р    
 о; р; о    р; о; о 
Вероятность равна
 
 P =        = 0,375
 
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

m = 1
это  р, р, р
n = 2×2×2 = 8
 
P =     = 0,125
5 вид. В сборнике билетов по биологии всего 35 билетов, в 14 из них встречается вопрос по зоологии. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по зоологии.

Решение
m = 35-14=21-  билет без зоологии
n = 35 – всего билетов
Вероятность равна
 
P =        =0,6
В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 13 из них встречается вопрос по производной. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по производной

m = 20 – 13 = 7
n = 20
 
P =      = 0,35
6 вид. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 80 докладов — первые три дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение
1 день – 12 докладов, 2 день – 12 докладов, 3 день – 12 докладов, 4 день – 22 доклада, т.к.  (80- 3×12):2=22
5 день – m = 22 доклада. n = 80 – всего выступлений. Вероятность выступления профессора М:
 
P =        = 0,275
Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 75 выступлений – по одному от каждой страны. В первый день 33 выступления, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

1 день – 33 выступления
2, 3 день – по (75-33):2=21 выступление
m = 21       n = 75
 
P =       = 0,28
7 вид. В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 12 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение
m = 2000-12=1988 - насосов не подтекает
n = 2000 – всего насосов
Вероятность, что случайно выбранный насос не подтекает:
 
P =           =0,994
 
В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает

m = 1000 – 4 = 996
n = 1000
 
P =          = 0,996
8 вид. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

Решение
   Так как Руслан Орлов сам с собой играть не может, то вероятность его игры с каким-нибудь спортсменом из России будет (m = 9, n = 25):
 
P =        = 0,36
Перед началом первого тура чемпионата по фехтованию участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 36 спортсменов, среди которых 8 участников из России, в том числе Василий Петров. Найти вероятность того, что в первом туре Василий Петров будет играть с каким-либо спортсменом из России?

m = 7
n = 35
 
P =       = 0,2
Найди ошибки
Теория вероятностей
 
Что узнали нового?
Что вам не понравилось?
Что вас поразило?
Что хотите узнать нового?
Удачи на ЕГЭ!


Просмотров: 171 | Загрузок: 84
Автор: Макарова В.Е.
Теги: Теория вероятностей
Предмет: Математика


Похожие образовательные материалы:
Всего комментариев: 0
avatar