Конспект и презентация к уроку математики. Урок-практикум «Методы решения иррациональных уравнений»

Цель урока:

Обобщение и систематизация способов решения иррациональных уравнений.
Решение более сложных типов иррациональных уравнений.
Развивать умение обобщать, правильно отбирать способы решения иррациональных уравнений.
Развивать самостоятельность, воспитывать грамотность речи.


Задачи урока:

1. Расширить и углубить представления учащихся о приемах и методах решения иррациональных уравнений.

2. Помочь овладеть рядом технических и интеллектуаль­ных умений на уровне свободного их использования.

3. Развить интерес и положительную мотивацию изучения математики.
 

Тип урока: практикум.

Форма урока: мастерская (групповая работа)

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор

Продолжительность: 2 часа

Ход урока

Организационный момент
Проверка домашнего задания
Устная работа. Ставится вопрос - проблема.

Можно ли, не решая уравнений, сделать вывод о неразрешимости предложенных уравнений:

 

Актуализация знаний. Презентация

1 способ. Введение новой переменной

Метод замены переменной или метод подстановки очень часто используется при решении иррациональных уравнений и неравенств. Он позволяет значительно упростить решение, разбить его на самостоятельные этапы. Решить уравнение. .

Решение.

Проверка:

Выполняем обратную подстановку

Ответ: -5; 2.

 

2 способ. Исследование ОДЗ.

Решить уравнение.

Решение. Замечаем, что ОДЗ уравнения состоит из одной точки х=1. Проверкой убеждаемся, что х=1 – решение уравнения.

Ответ: 1.

3 способ. Умножение обеих частей уравнения на сопряженный множитель.

Решить уравнение 

Решение. Умножим обе части уравнения на .

Получим, .

Имеем,

Отсюда,

Проверкой убеждаемся, что х = 1 является корнем данного уравнения.

Ответ: 1.

4 способ. Сведение уравнения к системе рациональных уравнений с помощью введения переменной.

Решить уравнение 

Решение. Положим     Тогда   u+v=3. Так как u3=x-2, v2=x+1, то v2 – u3 =3. Итак, в новых переменных имеем

Значит, х=3.

Ответ: 3.

 

Следовательно, имеем уравнение

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

или   

Решением первой системы будет х=0, решением второй системы – все числа, удовлетворяющие неравенству

Ответ: [- 1: 0].

6 способ. Использование ограниченности выражений, входящих в уравнение

Решить уравнение 

Решение.  

Так  как   для  то левая часть уравнения не меньше двух для , а правая часть  для  Поэтому уравнение может иметь корнями только те значения х, при которых

Решая второе уравнение системы, найдем х=0. Это значение удовлетворяет и первому уравнению системы. Итак, х=0 – корень уравнения.

Ответ: 0.

7 способ: Использование свойств монотонности функций.

Решить уравнение  .

 

Решение. Если функция u(x) монотонная, то уравнение и(х) = А либо не имеет ре­шений, либо имеет единственное ре­шение. Отсюда следует, что урав­нение и(х) = v(x), где и(х) - возрас­тающая, a v(x) – убывающая  функ­ции, либо не имеет решений, либо имеет единственное решение.

 

Функции ,  их сумма возрастающая функция на области определения уравнения. Функция  убывает на ОДЗ уравнения. Подбором находим, что х=2 и оно единственно.

Ответ: 2.

8 способ. Использование векторов.

Решить уравнение 

Решение. ОДЗ:   Пусть вектор , . Скалярное произведение векторов    - есть левая часть. Найдем произведение их длин

  . Это есть правая часть. Получили векторы  - коллинеарны.

Отсюда              .

Возведем обе части в квадрат. Решив уравнение, получим х = 1 и .

Ответ: х = 1 и .

Работа в группах

Класс делится на группы. С первой решаем вместе типичные уравнения у доски. Вторая, третья и четвертая группы выбирают себе серию уравнений по уровню сложности. При необходимости учитель отвечает на вопросы учащихся.

 

Итог урока

Решение иррациональных уравнений требует от учащихся хороших теоретических знаний, умений применять их на практике, требует внимания, трудолюбия, сообразительности.

Вопросы учащимся:

Какие методы использовали при решении уравнений?

Какой из методов вам понравился больше всего и почему?

Какие еще методы решения иррациональных уравнений вы знаете?

(Функционально -  графический метод, метод равносильных преобразований, метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень с последующей проверкой)

 

Рефлексия

Выбери из предложенных рисунков тот, который соответствует твоему настроению после пройденного урока и отметь его.

 

 Литература

Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10 – 11 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2011.
Кальней С.Г., Олейник Т.А., Прокофьев А.А. Сборник задач по математике для подготовительных курсов. Часть 1. Алгебра и начала анализа. – 4-е изд. – М.: МИЭТ, 2009.
КИМы ЕГЭ 2010 – 2012 г. г.


Просмотров: 291 | Загрузок: 67
Автор: Макарова Т.П.
Теги: иррациональные уравнения
Предмет: Математика


Похожие образовательные материалы:
Всего комментариев: 0
avatar