Конспект и презентация к уроку математики "Решение тригонометрических уравнений"

Ход урока

Организационный момент Постановка целей урока. Сегодня мы проводим урок-тренинг, на котором вы, ребята, повторите и систематизируете методы решения разных видов тригонометрических уравнений. Вы должны уметь выделять виды тригонометрических уравнений и способы их решения, а также уметь выделять наиболее рациональный способ решения.
Устная работа.

1. Проклассифицируйте уравнения по какому-то признаку и выделите лишнее уравнение:

1) a) 2sin x + sin x – 1 = 0;                       2). a) 2 sin x – 3sinx∙ cos x + sin x = 0;

   б) 6cos2 x + cos x – 1 = 0;                            б ) 9sin x∙ cos x – 7 cos2 x = 2 sin2 x;

   в) 4sin2 x – 5 sin x – 2 = 0;                           в) sin2x + cos x = 0;

   г) 3 sin2x – sinx cos x = 2 cos2x;;                 г) 8cos2x – 3sin x∙cos x – 1 = 0;

   д) 5 sin2x + 6 cos x – 6 = 0.                          д) 7 sin2x – 2 sin x ∙ cos x = 1.

 

 3)  a) 2sin3 х + 2sin x∙ cos x = -1;

б) 2 cos x + cos2 x = 0;

в) sin x – 2sin x∙ cosx  = 0;

г) tg2 x – tg x = 0;

д) sin2 x – sin x = 0.

             2. Решите уравнение: а) sin x = 0,5;  б) cos x  = - 0,5;   в) tg x = 2;

                                                  г) 2 sin (x + ) = 4;

                                                  д ) sin (x - ) = 0.

             3. Среди уравнений, данных в таблице на экране, выберите те, которые решаются:

                а) приведением к квадратному  уравнению( №3, №4)

                б) как однородные тригонометрические уравнения( №1, №2, №5)

                в) с помощью формул суммы и разности (№4, №6)

                г) вынесением общего множителя за скобки (№7, №9).

Номер уравнения уравнение

 

2sin2x + 2 cos2x = 5 sin x ∙ cos x ;

cos x – sin x = 0;

sin2x + 2 sin x – 3 = 0;

sin x + sin 3x = sin 5x – sin x ;

 

cos2 x + 3 sin2 x + 2 sin x ∙ cos x = 3;

 

sin x – sin 2x + sin 3x – sin 4x = 0;

cos2x - cos x = 0;

5sin2 x + 6 cos x = 6;

 

tg2x – 3 tg x = 0;

 

sin x + cos x = 1.

III. Решение задач.

1. Рассказать и показать, как решаются уравнения приведением к полному квадратному уравнению. ( Учащиеся объясняет у доски решение уравнений, взятых из таблицы -№3 и № 8).

№3: sin2x + 2sin x – 3 = 0; sin x = t; t2 + 2t – 3 = 0; t1 = 1 и  t2 = - 3;  sin x = 1,то    x =  + 2 n,  n Î Z.   sin x = 3,  Æ.         Ответ:  + 2πn, n Î Z.

№ 8: 5sin2 x + 6cos x – 6 = 0;  5( 1 – cos2x) + 6cosx – 6 = 0;  -5cos2x + 6cosx – 1 = 0;  cosx = y,       

- 5y2 + 6y – 1 = 0; y1 = 1  и  y2 = ;     cosx = 1,  то    x = 2πn, n Î Z .       cos x = , то                       x = ± arcos  +2πn, n ÎZ.

                       Ответ: 2πn,  ±arccos  + 2πn, n Î Z.

2. Рассказать и показать, как решаются однородные тригонометрические уравнения. (Учащиеся объясняют у доски решение уравнений взятых из таблицы №1, №2, №5).

№1: 2sin2x + 2cos2x = 5sinx·cosx; cos2x ≠ 0,  2tg2x – 5tgx + 2 = 0;   tgx = t,  то   2t2 – 5t + 2 = 0,           

t1 = 2 и   t2 = 0,5;  tgx = 2,   x = arctg2 + πn, n Î Z;  tgx = 0,5   x = arctg0,5 + πn, n Î Z.

                             arctg2 +πn,  arctg0,5 +πn, n ÎZ.

№2: cosx – sinx = 0,  (Решаем устно)          cosx ≠ 0,   tgx = , x = arctg +πn, n ÎZ.

№5: cos2x + 3sin2x + 2 sinx·cosx = 3;   cos2x + 3sin2x + 2 sinx·cosx = 3(sin2x + cos2x);

 -2 cos2x + 2 sinx·cosx = 0;  sin2x ≠ 0,   -2ctg2x +   2 ctgx = 0; -2ctgx(ctgx  - ) = 0;

сtgx = 0  или     ctgx = ; x =  + πn   x =  + πn, n ÎZ.

                                          Ответ:  + πn ;    + πn, n ÎZ.

3. Рассказать и показать, как решаются уравнения с помощью формул суммы и разности тригонометрических функций ( №4, №6).

№4: sinx + sin3x = sin5x – sinx; 2sin2xcosx = 2sin2xcos3x;  2sin2x(cosx – cos3x) = 0;                                                                                  sin2x = 0;      или             cosx – cos3x = 0;

2x = πn, n ÎZ.     или       -2sin2xsin(-x) = 0;

 x = n, n Î Z.   или          sin2x = 0    или       sinx = 0;

                                   x = n, n Î Z.  или      x = πn, n ÎZ. 

                Ответ: n, n Î Z.

№ 6: sinx – sin2x + sin3x – sin4x = 0;  (sinx – sin2x ) +  (sin3x – sin4x ) = 0;

            - 2sin cos  - 2sin cos  = 0;            - 2sin (cos  +  cos  )= 0;

sin  = 0           или                   cos  +  cos  = 0;

x = 2πn, n Î Z.       или              2 cosx cos  = 0;         cos  = 0   или      cosx = 0

                                                                            x =  + n, n Î Z.   x = n  + πn, n ÎZ. 

                          Ответ:    + n,   n  + πn,     n  + πn,  2πn, n ÎZ. 

4. Рассказать и показать, как решаются тригонометрические уравнения разложение на множители. (№7, №9).

№7: cos2x - cosx = 0;  cosx(cosx   - ) = 0;  cosx = 0     или               cosx   =  ;

                                                                         x =  + πn, n Î Z.   или      x = ±  + 2πk, k Î Z.

            Ответ:  + πn,   ±  + 2πk, k Î Z, k Î Z.

    №9: tg2x – 3tgx = 0;  tgx ( tgx – 3) = 0;     tgx  = 0  или     tgx – 3 = 0;     

                                                                         x = πn, n ÎZ,    или       x =  + πn, n Î Z.

             Ответ:  πn,   + πn, n Î Z.

 Психологическая разгрузка.

Сядьте спокойно, закройте глаза, положите руки на колени, представьте, что вы едите на машине. Вы приехали на озеро. Ветерок. Солнце. Цветы. Видите ромашку. Нарисуйте кончиком носа в воздухе контуры ромашки. Вдыхаем запахи, делаем вдох – выдох (три раза). Глаза открыли. Делаем вдох – выдох (два раза). Дышите ритмично.

5. Какое из уравнений таблицы осталось нерешенным?  (№10).

Рассмотрим новый метод решения тригонометрических уравнений. ( Сообщение делает ученица).

 «Решение уравнений введением вспомогательного аргумента».

 asinx + bcosx = c, где а, в, с-числа. Делим коэффициенты уравнения на .

sinx  + cosx =  

 

  Заменим    = sin  ( или cos ), а    = cos (  или sin  )

     Получим :  cos(x  - ) = ; ( или  sin(x + ) =  ).

Пример 1.

Решим уравнение:  3sinx + 4cosx = 5; = 5; sinx + cosx = 1;  sin  = ,        cos  = ;  sin  sinx + cos  cosx = 1;  cos(x - ) = 1; x -  = 2πn, n Î Z, ; x =   + 2πn,     n Î Z,   sin  =  ,  то     = arcsin               cos  = , то  = arccos ,

x =  arcsin    + 2 n, n Î Z ,  или      x =  arccos + 2πn, n Î Z.        

 

Ответ: arcsin    + 2 n, n Î Z ,       (  arccos + 2πn, n Î Z. )  

Пример 2.

Решим уравнение  sinx – cosx = 2.      = 2.

 sinx - cosx = 1;   = cos  ,  а     = sin , то   cos  sinx - sin cosx = 1;   тогда

sin(x - ) = 1;    x -  =   + 2 n, n Z.  ;    x =   +   + 2 n, n Z. 

   = cos  ,      = sin , то     =  ;    x =   +   + 2 n, n Z .  x =  + 2 n, n Z. 

Ответ:  + 2 n, n Z. 

6. Далее предлагаем ребятам решить самостоятельно уравнение №10 из таблицы, решение проверяем с помощью  кинопроектора.

  sinx + cosx = 1;  =2;

sinx + cosx = ;   Заменим:   =  sinj ,   = cosj, то j = .

sinx cosj + cosx sinj =   ;  sin( x + j) =   ;  x + j = ( -1)n  + πn, n Î Z.

x =  ( -1)n  - j  + πn, n Î Z,        x =  ( -1)n  -   + πn, n Î Z.

 Ответ: ( -1)n  -   + πn, n Î Z  или    x = 2πn, n Î Z;  x =  +2πk, k ÎZ.

7. Предлагаю ребятам решить уравнения устно. (Метод решения – решаются оценкой значений левой и правой частей). Уравнения проецируем на экран.

    а) 3cosx + sinx = 5; Æ

    б ) 4cosx + sinx = 5; Æ

    в) 2cos3x + 4sin  = 7; Æ.

IV. Дифференцированная самостоятельная работа.

Работа проецируется на экране, потом проверяем с помощью кинопроектора решение  самостоятельной работы.

I уровень.

Вариант №1

Вариант №2

Решите уравнения:

1. cos2x – 9cosx + 8 = 0;

 

2. 7sin2x = 8sinx cosx – cos2x.

Решите уравнения:

1. sin2x – 9sinx + 8 = 0;

 

2. 9sinx cosx – 7cos2x = 2sin2x.

 

II уровень.

Вариант №1

Вариант № 2.

Решите уравнения:

1. sinx cosx = sin2x;

2.  sin2x – sin3x = 0;

3.  sinx + cosx = 2.

Решите уравнения:

1.  sin2x – 0,5sin2x = 0;

2.  sin2x + sinx = 0;

3. sinx + cosx = .

 

Вариант №1

Вариант №2

I уровень.

1. cos2x – 9cosx + 8 = 0;  cosx = t;                   t2 – 9t + 8 = 0;  t1 = 1, t2 = 8;

cosx = 1; x = 2πn, nÎZ; cosx = 8; Æ.

Ответ: 2πn,  n Î Z.

 

2. 7sin2x = 8sinx cosx – cos2x;    cos2x ≠ 0,

7tg2x – 8tgx + 1 = 0; tgx = 1 и  tgx = ;

x =  + πn, n Î Z, x = arctg  + πn, n ÎZ.

Ответ: πn,  arctg  + πn, n ÎZ.

II уровень.

1. sinx cosx = sin2x;

sinx cosx  -  sin2x = 0;

sinx( cosx -  sinx )= 0;

sinx = 0     или      cosx -  sinx = 0

 x = πn, n Îz, - tgx = 0; tgx = ;

                                  x =  +πn, n ÎZ.

 Ответ: πn ,   +πn, n ÎZ.

2.  sin2x – sin3x = 0; - 2sin cos  = 0;

   sin  = 0,        cos  = 0;

    = πn, n ÎZ,   =  + πn, n Î Z.

  x = 2πn, n ÎZ,  x =  +  , n ÎZ.

  Ответ:  2πn,   +  , n ÎZ.

3. sinx + cosx = 2. = 2;

  sinx + cosx = 1; cosj  = ; sinj = ;

  j  =  .      sin( j + x ) = 1;                           x + j = + 2πn, n ÎZ; x = -j +  + 2πn,        n ÎZ;  x  = - +   + 2πn, n ÎZ;

x =  + 2πn, n Î Z. Ответ:  + 2πn, n Î Z.                                                                                                                           

I уровень.

1.sin2x – 9sinx + 8 =  0; sinx = t; t2 – 9t + 8 = 0

t1 = 1, t2 = 8; sinx = 1; x =  + 2πn, n Î Z, 

sinx = 8, Æ.    Ответ:    + 2πn, n Î Z.

2. 9sinx cosx – 7cos2x = 2sin2x;  cos2x ≠ 0,

2tg2x – 9tgx + 7 = 0; tgx = 1, x =   + πn,      n ÎZ;  tgx 3,5;  x = arctg3,5 + πn, n Î Z.

 Ответ:   + πn,  arctg3,5 + πn, n Î Z.

II уровень

1. sin2x - sin2x = 0;  sin2x - 2sinx cosx= 0;

sinx(sinx – cosx) = 0; sinx = 0,  sinx – cosx =0,       

x = πn, n Î Z,  tgx = 1, x =  + πn, n Î Z.

  Ответ:  πn;   + πn, n Î Z.

2. sin2x + sinx = 0;  2sin cos  = 0;

sin  = 0  или    cos  = 0;   = πn, n Î Z        x =  , n Î Z,      =  + πn, n Î Z.        x = π + 2πn, n Î Z.

  Ответ:  ,   π + 2πn, n Î Z.

3. sinx + cosx = ; = 2;

sinx + cosx = ;  cosj = ;        sinj = ;  cosj sinx + sinj cosx  = ;

sinx (x + j )  = ; x + j = ( - 1)n  + πn,     n Î Z;  x = - j +  ( - 1)n  + πn,     n Î Z;

x = ( - 1)n  - + πn,     n Î Z;

Ответ: ( - 1)n  - + πn,     n Î Z;  ( или

 + 2πn и     + πn, n Î Z).

 

Дополнительное задание.

 

Вариант №1.

Вариант №2.

Решите уравнение: 16sin2x + 2cosx = 11 и укажите его корни, удовлетворяющие условию sinx ≤ 0.

Решите уравнение 36cos2x  + 4sinx = 25 и укажите его корни, удовлетворяющие условию cosx ≥ 0.

(Ответ: ±arccos  + 2πn, n Î Z и                     (Ответ: -  + 2πn, n ÎZ  и  arcsin  + 2πm )                                                                                                                                    

-  + 2πm, m Î Z.)

Учащиеся проверяют свои решения по кинопроектору и оценивают себя сами.

«3» - I уровень.

«4» - за два задания из II уровня.

«5» - за три задания из II уровня.

V. Итог урока.

Вопросы к классу:

1. Какие уравнения называются тригонометрическими?

2. Какие типы и методы решения уравнений мы знаем?                                           

Дается оценка работы класса и отдельных учащихся.


Просмотров: 368 | Загрузок: 65
Автор: Метелева Р.Ф.
Теги: тригонометрические уравнения
Предмет: Математика


Похожие образовательные материалы:
Всего комментариев: 0
avatar