Конспект и презентация к уроку математики "Применение производной к исследованию функции"

Приветствие

Создание положительного эмоционального настроя на уроке

Здравствуйте ребята! Садитесь!

Организационный момент

Создание мотивационной базы урока

Сегодня на урок я пришла с настроением, которое у меня ассоциируется с солнышком. Покажите, пожалуйста, ваше настроение: если радостное и спокойное, то покажите солнце, с тревогой и печалью – солнце за тучей, пасмурное, хочется остаться дома – туча.  Я надеюсь, что встреча с математикой укрепит ваше хорошее настроение.

Тема нашего урока «Исследование функции с помощью производной». Давайте запишем дату и тему урока в тетрадь.  

Цель занятия - выявить уровень овладения вами комплексом знаний по свойствам функции (область определения, четность, нечетность, периодичность, промежутки  знакопостоянства и монотонности)  и умений по исследованию функции и ликвидировать имеющиеся у вас пробелы.

А при выполнении заданий вас ждёт сюрприз, а точнее небольшая проблема, для решения которой необходимо будет пополнить багаж ваших знаний. Мы изучим свойство функции, которое рассматривается в классах с углублённым изучением математики. Я верю вам интересно попробовать свои силы и доказать себе и другим, что вы можете подняться на новую ступеньку в своих знаниях.

Теме «Функция» уделяется большое внимание в курсе математики, потому, что функция, её график часто встречается в жизни, в профессиональной среде, в работе врачей, юристов.

 

Фронтальный опрос

 

Учащимся предлагается обобщить и проверить свои знания

Одна из основных задач исследования функции – это нахождение промежутков возрастания и убывания. Такое исследование легко провести с помощью производной.

Поэтому давайте вспомним:

Достаточный признак возрастания функции.
Достаточный признак убывания функции.
Какие точки области определения функции являются критическими точками.
Необходимое условие экстремума (или теорема французского математика – теорема Ферма)
Какая точка называется точкой максимума? (упрощенная формулировка этого признака).
Какая точка называется точкой минимума? (упрощенная формулировка этого признака)
Например, найти промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума (практическая работа).

 (у доски)

 

Актуализация ЗУН

После повторения некоторых свойств функции предлагаются следующие задания для выполнения

1. Какова область определения функции?  

2. Найдите область определения функции .

3. Какая это функция: четная или нечетная ?

4. По графику производной некоторой функции укажите интервалы, на которых функция монотонно возрастает, убывает, имеет максимум, имеет минимум.

5.На рисунке изображён график производной функции y=f(x). Сколько точек максимума имеет эта функция? Назовите их.

 

Изучение нового материала

Выслушать сообщение л великом ученом математике

Тема «Исследование функции с помощью производной».

 

Впервые обозначение у=f(х)   для функции ввел Леонард Эйлер. (Слайд)

Швейцарец по происхождению, математик, физик, астроном.

В 1726 году был приглашен в Петербургскую академию наук.

В 1727 году переехал в Россию.

 

Исследовать функцию совместно с учащимися по предложенной схеме

При рассмотрении физического смысла производной вы узнали, что первая производная  от координаты по времени помогает находить скорость, а вторая ускорение. При исследовании функции тоже помогает производная. Как мы сейчас повторили, благодаря производной можно легко находить промежутки монотонности. А вот какое влияние оказывает на график функции вторая производная, мы попробуем установить далее.

Для того чтобы определить, как связаны между собой график функции и вторая производная, проведем  исследование функции по следующей схеме:

Схема исследования графика функции.

Найти область определения функции. (Указать множество значений переменной х, при которых данная функция определена).
Исследовать функцию на четность. (Выяснить, симметрична ли область определения функции относительно начала координат и найти y = f(-x). Если f(-x) = f(x), то функция четная, если y f(-x) = -f(x), то функция нечетная).
Найти нули функции. (Точки пересечения с осями координат).
Исследовать функцию на монотонность. (Если f ’(x) > 0, то функция возрастает, если f ’(x) < 0, то функция убывает).
Записать точки экстремума и экстремумы функции. (Найти значение функции в точках экстремума).
Дополнительные точки.
Построение графика.

Пусть дана функция: .

Решение:

D(f)=R, т.к. f -многочлен.
Выясняем, является ли функция f четной или нечетной.  - функция ни четная, ни нечетная.
Функция непериодическая.
Находим точки пересечения графика с осями координат:
а) с осью ОХ: у=0 получаем точки (0;0), (3;0)
б) с осью ОУ: х=0 получаем точки (0;0)
Найдем производную функции:
Найдем критические точки: , т.е. 6х-3х2=0, х=0 или х=2.

Отмечаем эти точки 0 и 2 на числовой прямой, и определяем знак производной в каждом промежутке.

 

I. (-1)  6(-1)-3(-1)2=-6-3=-9<0

II. (1)  6*1-3*12=3>0

III. (3) 6*3-3*32=-9<0

Значит, в промежутках  и  функция убывает и (0;2) – функция возрастает.  

 

х=0 - точка минимума, т.к. производная меняет знак с минуса на плюс.

Вычислим уmin=0.

х=2 – точка максимума, т.к. производная меняет знак с плюса на минус.

Вычислим уmax=4.

9.Составляем таблицу для внесения всех данных

10. Строим график функции.

 

Сообщить новую информацию для учащихся

Выпуклость графика функции и точки перегиба

Определение. Производную от первой производной функции f(x) называют второй производной или производной второго порядка этой функции. Обозначают  

 

Исследовать функцию на выпуклость, вогнутость и точки перегиба

Рассмотрим пример. Пусть дана функция f(x)=x3. Найти интервалы выпуклости вверх и вниз, точку перегиба.

Найдем = 3х2
Найдем вторую производную
Найдем критические точки второго рода: 6х=0, х=0.

Определяем знак второй производной в каждом промежутке.
 
I. (-1) 6(-1)=-6<0       для всех х <0 .
Значит, функция выпукла вверх в этом промежутке.
II. (1) 6*1=6>0          для всех х>0 .
Значит, функция выпукла вниз (вогнута).
х=0 – точка перегиба, т.к. функция меняет в этой точке направление выпуклости.

 

Бывают случаи, когда кривая в одной части выпукла, а в другой – вогнута. Например, синусоида.

 

Закрепление изученного материала

Практическая работа

Найти интервалы выпуклости и точку перегиба, если  f(x)= х4-6х2+4.

 

Задания ЕГЭ

 

Так производная функции и ее применение часто встречаются в заданиях ЕГЭ. Рассмотрим элементарные примеры из части В на применение производной.

Итак, такое задание: на рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-5;5). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [-4;4]

Решение:

Отметим на рисунке указанный промежуток и проанализируем как на этом промежутке изменяется производная и сама функция.

Производная на заданном отрезке дважды меняет знак с + на – и один раз с – на +. Значит на заданном отрезке функция имеет две точки максимума и одну точку минимума.

Таким образом, количество экстремумов равно 3.

Задача 2. На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале (-2; 12). Найдите промежутки убывания функции. В ответ укажите длину наибольшего из них.

Решение:

Функция убывает на промежутке, если ее производная не положительна на этом промежутке. Найдем на рисунке такие промежутки.

Определим длину каждого промежутка. Выберем из них наибольший. Ответ: 6.

Творческое задание

Предлагается творческое задание

Указание: найдите функцию в таблице, исходя из её “автобиографии”. Найдите область определения, нули функции, точку разрыва, промежуток возрастания и убывания.

Я – функция сложная, это известно,

Еще расскажу, если вам интересно,

Что точку разрыва и корень имею,

И есть интервал, где расти не посмею.

Во всём остальном положительна, право,

И это, конечно, не ради забавы.

Для чисел больших я стремлюсь к единице.

Найдите меня среди прочих в таблице.

 

Домашнее задание

1. №  300 (а, б).

2. Нестандартное задание: найдите функции, описывающие реальные физические процессы, которые вы изучали на уроках физики и исследуйте их.

 

Итог урока

Подведение итогов урока.

Проверка эмоционального состояния учащихся.

1. Рассмотрите взаимосвязь между свойством функции и производной. Как влияет знак второй производной на выпуклость функции.

2. Выставление оценок за фронтальный опрос, за блиц-опрос и за практическую работу у доски.

3. Будьте добры, покажите, пожалуйста, ваше настроение в конце нашего урока.

 

Спасибо вам за активное участие на уроке!!!


Просмотров: 583 | Загрузок: 88
Автор: Сальтяшева А.И.
Теги: Производная
Предмет: Математика


Похожие образовательные материалы:
Всего комментариев: 0
avatar