Конспект и презентация к уроку математики "Методы решения тригонометрических уравнений"

Цели урока:

1) Повторение методов решения тригонометрических уравнений

2) Введение нового метода решения тригонометрических уравнений (универсальная тригонометрическая подстановка);

3) Развитие культуры математической речи

 

План урока:

1. Организационный момент

На слайде демонстрируется высказывание Льюиса Кэрролла. Ученикам сообщается о цели урока. Проверяется готовность учеников к уроку.

 

2. Актуализация знаний

В начале урока учитель предлагает ученикам вспомнить уже известные методы решения тригонометрических уравнений. Для этого ученики должны устно предложить метод решения для каждого из 5 уравнений. Все основные узлы решений учитель записывает на доске под диктовку учеников, дополняя или исправляя их объяснения. Имеет смысл на первых примерах задействовать не сильных учеников, чтобы они включились в работу и активно помогали при выведении формул. Далее представлена таблица с разбором возможных решений. После каждого решения, полностью проговаривается идея метода учениками с поправками учителя.

 

Возможное решение для первого уравнения:

С помощью теоремы обратной теореме Виета находим:

 

По условию остаётся только один корень. Производим обратную замену:

На доске появляется координатная окружность. С помощью координатной окружности, ещё раз проговаривая как её использовать, находим значения корней:

Возможное решение для второго уравнения:

В случае если учащиеся захотят решить это уравнения делением на  надо заметить, что в этом случае мы совершаем не равносильное преобразование и рискуем потерять серию корней, что недопустимо. Поэтому имеет смысл решать это уравнение иначе. Ученики должны догадаться, что самый простой способ – разложение на множители:

Ученики проговаривают критерий: «Произведение равно 0 тогда и только тогда, когда один из множителей равен 0, а другой при этом не теряет смысла»

На экране появляется тригонометрическая окружность, с помощью которой ученики находят серии корней:

Возможное решение третьего уравнения:

Ученики видят формулу разность синусов, применяя её, разлагают правую часть уравнения на множители. Проговариваю критерий равенства произведения 0. После чего получают два уравнения:

Появляется тригонометрическая окружность, с помощью которой, учащиеся находят серии корней:

Возможное решение четвёртого уравнения:

Ученики говорят, что это однородное уравнение второй степени, которое решается делением, например, на . И сводится к квадратному уравнению относительно тангенса:

Так как такой тип уравнений уже повторялся, то возможно, сообщив об этом ученикам, перейти к следующему уравнению. Однако, можно решить данное уравнение до конца. Корни, в этом случае, предпочтительно находить через теорему обратную теореме Виета.

Возможное решение пятого уравнения:

Это уравнение предполагает множество очевидных вариантов решения. Например:

Метод вспомогательного угла;
Замена по формуле приведения синуса на косинус или косинуса на синус. И преобразования формулы суммы косинусов или синусов соответственно;
Ограниченность тригонометрических функций

Возможно, дать возможность ученикам проговорить их и выбрать самое рациональное решение. Само рациональное, представляется очевидным, решение, связанное с ограниченностью тригонометрических функций:

Значения синуса и косинуса, по модулю, ограничены 1, значит, их сумма никогда не может быть равна 3, поэтому корней данное уравнение не имеет.

 

2.1. Переход к основной части

Данный этап урока, призван сформировать проблему, решению которой будет посвящена основная часть урока.

 

Ученики предполагают, что данное уравнение, возможно, решить с помощь введение вспомогательного угла. Учитель соглашается и предлагает записать решение этого уравнения. На экране по мере того, как ученики говорят этапы алгоритма, появляются соответствующие записи. Учителю только важно изначально направить учеников на формулу косинуса суммы, а также обратить внимание на четность косинуса, которая позволяет упростить конечный вид серии корней.

 

3. Основная часть

            После получения серии корней в части 2.1 учитель обращает внимание некоторую «некомпактность» данного ответа и сложности в восприятии этой информации. Например, сложности, которые возникнут, если необходимо будет найти корни на заданном промежутке. Далее учитель сообщает, что одно из замечательных отличий тригонометрических уравнений состоит в том, что в зависимости от избранного метода решения, можно получить разные виды записи одних и тех же корней. Поэтому, возможно, если мы решим данное в 2.1 уравнение каким-то другим способом, вариант записи ответа получится предпочтительнее.

 

Ученики записывают ещё раз уравнение. Учитель подсказывает идею об использовании формулы двойного угла. После чего на доске появляются формулы двойного угла. Ученики устно проговаривают, как будут раскрываться двойные углы. После чего на доске появляется преобразования. По ходу ученики говорят о том, что надо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

После того, как уравнение сводится к данному на слайде уравнению, предлагается ученикам определить, какой вид имеет уравнение и как его необходимо решать. Ученики догадываются. Что перед ними однородное уравнение и что его имеет смысл разделить на (проговаривается, что данное выражение не будет равно 0, так как в противном случае получаем противоречие основному тригонометрическому тождеству). К доске вызывается ученик, который будет оформлять решение, остальные самостоятельно оформляют решение в тетради, а затем проверяют. Возможное решение:

 

Учитель обращает внимание на то, что второй вариант записи корней выглядит предпочтительнее. Поэтому имеет смысл обобщить опыт решения данного уравнения вторым способом. Ещё раз с учениками проговаривается ход решения, после чего задаётся вопрос: можно ли изначально все тригонометрические функции выразить, через тангенс половинного угла? Ученики должны дать утвердительный ответ и догадаться о применении формул двойного угла для этой процедуры.

 

Учитель предлагает оформить процедуру для синуса угла х. На доске по мере того, как озвучивается необходимость того или иного действия, появляется его визуализация.

К доске вызывается ученик для оформления процедуры сведения косинуса угла х, к тангенсу его половинного угла. Сама запись может выглядеть таким образом:

Сообщается, что, так как в итоге можно свести все известные тригонометрические функции к функции тангенса половинного угла (тангенс х, сводится по формуле тангенса двойного угла, а котангенс, как взаимообратное к тангенсу), то данные формулы называются формулами универсальной тригонометрической подстановки. Пока ученики их записывают в тетрадь, также сообщается, что после замены тангенса половинного угла на переменную, любое тригонометрическое уравнение фактически можно свести к алгебраическому от одной переменной.

 

Однако, есть тонкость, которая может привести к ошибке. Дело в том, что полученное уравнение не будет равносильно исходному, если в изначальном уравнении не будет тангенса половинного угла. В этом случае нам необходимо проверять, является ли серия 

Корнем уравнения. И если да, то должны включить эту серию в ответ. Всё это несколько осложняет использование формул.

 

4. Закрепление материала

            Цель данного этапа проверить действие формул на практике. Учитель совместно с учениками на доске оформляет решение. Ученики записывают решение в тетрадь.

 

Возможное решение первого уравнения:

Очевидно, проверку серии  делать не надо, так как тангенс половинного угла присутствует, и во время замены мы не сузим область допустимых значений.

Критерий равенства произведения 0, проговаривается

или

Второе уравнение не имеет корней, остаётся единственная серия:

Возможное решение второго уравнения:

Проверка необходима, так как тангенса половинного угла нет в изначальном уравнении. В ходе проверки выясняется, что серия  будет корнем, поэтому мы включаем её в ответ.

Далее пользуемся формулами универсальной тригонометрической подстановки:

 

5. Проверка знаний

Цель данного этапа получить обратную связь от учащихся. Увидеть насколько они поняли суть метода и насколько они научились его применять, чтобы понять какой будет следующий урок.

 

Ученикам предлагается самостоятельно решить уравнение, к доске для самостоятельного решения вызывается ученик. Возможное решение:

Проверка не требуется.

 

Критерий равенства произведения 0, проговаривается. Отсюда:

или

Решая второе уравнение с помощью дискриминанта, и используя нечетность тангенса, получаем следующие серии корней:

Отсюда:

После того как ученики решают уравнение, учитель выясняет сколько учеников успешно справилось с решением и если ребята ошиблись, то где они допустили ошибку.

 

6. Итог урока

            Учитель поздравляет учеников с тем, что они узнали ещё один способ решения тригонометрических уравнений, ещё раз повторяет алгоритм его применения. После чего предлагает учащимся попытаться решить следующее уравнение различными способами:

 

Должны быть обязательно названы следующие методы:

Универсальной тригонометрической подстановки;
Вспомогательного угла;
Применение формул приведения, с целью использование формул суммы (то есть разложение на множители);
Ограничение области значения синуса и косинуса;

Возможно, также рассмотреть возведение в квадрат.


Просмотров: 286 | Загрузок: 61
Автор: Сысой А.К.
Теги: тригонометрические уравнения
Предмет: Математика


Похожие образовательные материалы:
Всего комментариев: 0
avatar