Конспект и презентация к уроку математики "Комплексные числа. Действия с комплексными числами. Изображение комплексных чисел"

Цели и задачи:

1.Обучающая:

формирование у школьников различных приёмов мыслительной деятельности;
включение новой информации в структуру прежних знаний;
решение задач.

2. Воспитательная:

привитие интереса к предмету;
формирование уверенности в своих знаниях.

3. Развивающая:

применение полученных знаний в жизненных ситуациях.

План урока:

исследовать историю возникновения комплексных чисел, связанной с необходимостью выражения всех чисел знаками.
изучить примеры действия с комплексными числами;
научиться решать уравнения с комплексными переменными;
изучить модуль и аргумент комплексного числа
рефлексия.

На доске: «Мысль выражать все числа знаками настолько проста, что именно из-за  этой простоты сложно осознать,  сколь она удивительна»

Все науки возникли из практики. Знания, которые лежат в основе разных наук, человек приобретал в борьбе с опасными для него явлениями природы, и конечная цель наук – создание условий, наиболее благоприятных для существования человека.

Числа – это выражение определенного количества чего-либо. В течение тысячелетий люди использовали пальцы рук и ног, но это было не очень удобно при обозначении большого количества. Возникла необходимость более удобного способа выражения количества. Таким способом является запись чисел при помощи специальных знаков – цифр. Исследование истории возникновения чисел актуально в современном мире, и очень важно для нашего развития, так как в настоящее время наше общество постоянно пользуется числами.

 

Ход урока:

Сегодня мы поговорим о науке матаматике, и в частности о комплексных числах

Все науки возникли из практики. Знания, которые лежат в основе разных наук, человек приобретал в борьбе с опасными для него явлениями природы, и конечная цель наук – создание условий, наиболее благоприятных для существования человека.

Числа – это выражение определенного количества чего-либо. В течение тысячелетий люди использовали пальцы рук и ног, но это было не очень удобно при обозначении большого количества. Возникла необходимость более удобного способа выражения количества. Таким способом является запись чисел при помощи специальных знаков – цифр.

Исследование истории возникновения чисел актуально в современном мире, и очень важно для нашего развития, так как в настоящее время наше общество постоянно пользуется числами.

Эпиграфом к нашему уроку я взяла выражение Пьера Симона Лапласа –

«Мысль выражать все числа знаками настолько проста, что именно из-за  этой простоты сложно осознать,  сколь она удивительна»

Слово «математика» возникло в Древней Греции примерно в V веке до нашей эры. Происходит оно от слова «матема»-«учение»,«знания, полученные через размышления».

Древние греки знали четыре «матемы»:

учение о числах

теорию музыки

учение о фигурах и измерениях

астрономию и астрологию.

Считать люди научились еще в незапамятные времена. Сначала они различали просто один или много предметов.

 Прошли сотни лет, прежде чем появилось число 2. Счет парами оказался очень удобен, и не случайно у некоторых племен Австралии и Полинезии до после­днего времени были только два числительных: один и два, а все числа больше двух получали название в виде сочетания этих двух числи­тельных. Например, три - «один, два»; четыре - «два, два»; пять - «два, два, один».

Позже появились особые названия для чисел. Снача­ла для небольших чисел, а потом для все больших и больших. Число - одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения. Пальцы всегда при нас, то и считать стали по паль­цам. Таким образом, наиболее древней и простой «счетной машиной» издавна являются пальцы рук и ног

Запоминать большие числа было трудно, и поэтому кроме паль­цев рук и ног «задействовались» другие «приспособления». Напри­мер, перуанцы использовали для этого разноцветные шнурки с завя­занными на них узлами. Веревочные счеты с узелками были в ходу в России, а также во многих странах Европы. До сих пор иногда завязывают узелки на носовых платках на память.

Засечки на палочках применяли в торговых сделках. Палочки пос­ле окончания расчетов разламывали пополам, одну половинку брал кредитор, а другую - должник. Половинка играла роль «квитанции». В деревнях использовали счеты в виде зарубок на палках.

На более высокой стадии развития люди при счете стали применять разные предметы: использовали камешки, зерна, веревку с бирками. Это были первые счетные приборы, которые, в конце концов, приве­ли к образованию разных систем счисления и к созданию современ­ных быстродействующих электронных вычислительных машин.

Ещё недавно существовали племена, в языке которых были названия только двух чисел: «один» и «два». Туземцы островов, расположенных в Торресовом проливе, знали два числа: «урапун» - один, «окоза» - два и умели считать до шести. О числах, начиная с 7, туземцы говорили «много», «множество». Наши предки, наверняка, тоже начинали с этого. В старинных пословицах и поговорках как, например, «Семеро одного не ждут», «Семь бед – один ответ», «У семи нянек дитя без глазу», «Один с сошкой, семеро с ложкой» 7 тоже означало «много».

В древней египетской нумерации, зародившейся более 5000 лет назад, существовали особые знаки (иероглифы) для записи чисел 1, 10, 100, 1000, …

Для  того чтобы изобразить, например, целое число 23145, необходимо записать этот ряд

Древние индийцы изобрели для каждой цифры свой знак.

Чуть позже арабы упростили эти значки

Слово «цифра» тоже досталось нам от арабов по наследству. Арабы нуль, или «пусто», называли «сифра». С тех пор и появилось слово «цифра».

Постепенное превращение первоначальных цифр в наши современные цифры.

Цифры русского народа

Они записывались так, как показано на слайде

Комплексные числа

Решение многих задач физики и техники приводит к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел. Но решение многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами.

Для решения алгебраических уравнений недостаточно действительных чисел. Поэтому естественно стремление сделать эти уравнения разрешимыми, что в свою очередь приводит к расширению понятия числа. Например, для того чтобы любое уравнение х+а = в  имело корни, положительных чисел недостаточно и поэтому возникает потребность ввести отрицательные числа и нуль.

Многие учёные на протяжении веков внесли свой вклад в изучение комплексных чисел. 

Итальянский алгебраист Джироламо Кардано в 1545 предложил ввести числа новой природы.

На рубеже 17-18 веков была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных, а впоследствии и из любых комплексных чисел.

В конце 18 века французский математик Жозеф Луи  Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины.

Яков Бернулли применил комплексные числа для вычисления интегралов.

Датчанин Г.Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число z=a+bi точкой М(а,b) на координатной плоскости.

Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые: Н.И. Мусхелишвили занимался ее приложениями к теории упругости, М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев - к аэродинамике и гидродинамике, Н. Н. Боголюбов и В.С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля.

В связи с развитием алгебры потребовалось ввести сверх прежде известных положительных и отрицательных чисел числа нового рода. Они и называются комплексными.  

Комплексное число имеет вид a + bi; здесь a и b – действительные числа, а i – число нового рода, называемое мнимой единицей.

Соглашение о комплексных числах

НАПРИМЕР:  Действительное число а записывается также в виде a + 0i (или a – 0i).

П р и м е р. Запись 3 + 0i обозначает то же, что запись 3. Запись –2 + 0i означает –2. 

Сложение комплексных чисел

 О п р е д е л е н и е.  Суммой комплексных чисел a + bi и a’ + b’i называют комплексное число (a + a’) + (b + b’)i.

 Это определение подсказывается правилами действий с обычными многочленами.

Пример. (-3 + 5i) + (4 – 8i) = 1 - 3i

Вычитание комплексных чисел

О п р е д е л е н и е. Разностью комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и a’ + b’i (вычитаемое) называется комплексное число (a – a’) + (b – b’)i.

Пример 1. (-5 + 2i) – (3 – 5i) = -8 + 7i

Умножение комплексных чисел

Произведением комплексных чисел a + bi и a’ + b’i называется комплексное число

                                     (aa’ – bb’) + (ab’ + ba’)i.

Деление комплексных чисел

 Пример . Найти частное (7 – 4i):(3 + 2i).

Упростив данное выражение – получим       1 – 2i.

Геометрическое изображение комплексных чисел

 Комплексные можно изображать также отрезками, начинающимися в точке О и оканчивающимися в соответствующей точке числовой плоскости. Так, комплексное число  -3 + 2i можно изобразить не только точкой М, но также вектором ОМ; комплексное число –4+3i изображается вектором ОС и т. д

 Решение уравнений с комплексными переменными

Поскольку мы ещё не знакомились с этим материалом, я планирую продолжить его изучение в следующем году.

Модуль и аргумент комплексного числа

 Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем этого комплексного числа. Модуль всякого комплексного числа, не равного нулю, есть положительное число. Модуль комплексного числа a + bi обозначается | a + bi |, а также буквой r.                                  r = | a + bi | = Va’ + b’            

 Модуль действительного числа совпадает с его абсолютным значением. Сопряжённые комплексные числа a + bi u a – bi имеют один и тот же модуль.

Комплексные числа были введены в математику для того, чтобы сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа.

На данном уроке дано понятие комплексных чисел, история их возникновения. Рассмотрены примеры действий с комплексными числами.


Просмотров: 361 | Загрузок: 71
Автор: Брылёва К.И.
Теги: Комплексные числа
Предмет: Математика


Похожие образовательные материалы:
Всего комментариев: 0
avatar